Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\cos (x+y), \quad y(0)=\pi / 4)
(\frac{d y}{d x}=\cos (x+y), \quad y(0)=\pi / 4)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
com condição inicial
.
Este tipo de EDO sugere a substituição
Este tipo de EDO sugere a substituição
porque a RHS depende apenas de
. Vamos então traduzir tudo em termos de
.
Passo 2
Definindo
temos
Como
, obtemos
Passo 3
Agora separamos variáveis em
Para integrar, lembramos a identidade trigonométrica
Então
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Fazendo
(
), o LHS vira
Logo
Passo 5
Voltando a
, temos
, então
Aplicamos a condição
:
E sabe-se que
.