Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\cos (x+y), \quad y(0)=\pi / 4)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = cosl(x+yr),
com condição inicial y(0)=pi/4.
Este tipo de EDO sugere a substituição
u = x + y,
porque a RHS depende apenas de x+y. Vamos então traduzir tudo em termos de u.

Passo 2

Definindo
u = x + y,
temos
dudx = 1 + dydx
Como dydx = cos(u), obtemos
dudx = 1 + cos(u)

Passo 3

Agora separamos variáveis em
du1+cos(u) = dx
Para integrar, lembramos a identidade trigonométrica
1 + cos(u) = 2cos^2!l(tfracu2r)
Então
du1+cos(u) = du2cos^2!(u/2) = 12 sec^2!l(tfracu2r),du

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 12 sec^2!l(tfracu2r),du = integral dx
Fazendo t = u/2 ( du=2,dt), o LHS vira
12 integral sec^2(t),2,dt = integral sec^2(t),dt = tan(t) + C = tan!l(tfracu2r) + C
Logo
tan!l(tfracu2r) = x + C

Passo 5

Voltando a y, temos u = x+y, então
tan!l(tfracx+y2r) = x + C Longrightarrow x+y2 = arctanl(x + Cr) Longrightarrow y = 2arctanl(x + Cr) - x
Aplicamos a condição y(0)=pi/4:
pi/4 = 2arctan(C) - 0 Longrightarrow arctan(C) = pi/8 Longrightarrow C = tan!l(tfracpi8r)
E sabe-se que tan(pi/8)=raiz2-1.

Resposta

boxedy(x) = 2arctan!l(x + tan!tfracpi8r);-;x l(com tantfracpi8=raiz2-1r)

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