Determine quais das funçoes abaixo, de K em K, sao injetoras e quais sao sobrejetoras. Justifique suas respostas.
y=ll1x, & se x neq 0 0, & se x=0

Passo 1

O enunciado define
Vamos verificar injetividade (isto é, existe tal que ).

Passo 2

Para injetividade, suponha f(x1)=f(x2).
  • Se f(x1)=0, então necessariamente x1=0 (é a única forma de f dar 0). Logo f(x2)=0 implica x2=0, e assim x1=x2.
  • Se f(x1)neq0, então x1neq0 e x2neq0 e temos
1x1=1x2
que implica x1=x2.
Logo f é injetora.

Passo 3

Para sobrejetividade, seja yinK qualquer.
  • Se y=0, basta escolher x=0, pois f(0)=0.
  • Se yneq0, como K é corpo, y tem inverso e podemos tomar
x=1y,
de modo que
f(x)=fl(tfrac1yr)=1(1/y)=y
Assim, todo y tem um x com f(x)=y, e f é sobrejetora.

Resposta

A função é injetora e sobrejetora.

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