Determine quais das funçoes abaixo, de
em
, sao injetoras e quais sao sobrejetoras. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado define
Vamos verificar injetividade (isto é, existe
tal que
).
Passo 2
Para injetividade, suponha
f(x1)=f(x2) .
- Se
, então necessariamentef(x1)=0 (é a única forma dex1=0 dar 0). Logof implicaf(x2)=0 , e assimx2=0 .x1=x2 - Se
, entãof(x1)neq0 ex1neq0 e temosx2neq0
que implica
x1=x2 .
Logof é injetora.
Logo
Passo 3
Para sobrejetividade, seja
yinK qualquer.
- Se
, basta escolhery=0 , poisx=0 .f(0)=0 - Se
, comoyneq0 é corpo,K tem inverso e podemos tomary
de modo que
Assim, todo
y tem um
x com
f(x)=y , e
f é sobrejetora.
Resposta
A função é injetora e sobrejetora.