(Cálculo de limites de formas indeterminadas - 2,0 pontos) Ache o limite usando a regra de IHópital.
lim x +infty(1+12 x)^x^3.

Passo 1

O enunciado pede limxto+inftyl(1+12xr)^x^3, que é uma indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos definir o logaritmo natural do limite e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl(1+tfrac12xr)^x^3
Tomando logaritmo natural, fica
ln L = limxto+infty x^3 ,ln!l(1+tfrac12xr)

Passo 3

Escrevemos ln L como uma forma tfrac00 para aplicar L’Hôpital:
x^3 ln!l(1+tfrac12xr) = ln!l(1+tfrac12xr)1/x^3

Passo 4

Agora diferenciamos numerador e denominador:
  • Numerador:
ddxln!l(1+tfrac12xr) =11+tfrac12xcdotl(-tfrac12x^2r) =-12x^2 + x
  • Denominador:
ddxl(x^-3r) =-3x^-4 =-3x^4

Passo 5

O quociente das derivadas é
-12x^2 + x-3x^4 =x^43(2x^2 + x) =x^26 + tfrac3x longrightarrow +infty(xto+infty)
Logo ln L = +infty.

Passo 6

Como ln Lto+infty, concluímos
L = e^ln L = e^+infty = +infty

Resposta

O limite diverge para +infty.

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