Cálculo! Fique a vontade para usar fatos conhecidos de Cálculo 1. Considere o subconjunto
C([0,1], R)=f in F([0,1], R): f é contínua éí
Verifique que
lang<= f, grang<==integral0^1 f(x) g(x) d x
é um produto interno. Assim, C([0,1], R) é, com esse produto interno, um EVPI.

Passo 1

O enunciado introduz o espaço vetorial real C([0,1],R) de todas as funções contínuas em [0,1] e define a aplicação
lang<= f,grang<= = integral0^1 f(x),g(x),dx
Para mostrar que lang<=cdot,cdotrang<= é um produto interno, precisamos verificar três propriedades: (i) linearidade no primeiro argumento, (ii) simetria e (iii) positividade definida.

Passo 2

Verificamos a linearidade no primeiro argumento usando a linearidade do integral de Riemann. Se f1,f2,hin C([0,1],R) e a,binR, então
lang<= a f1+b f2,,hrang<= =integral0^1l(a f1(x)+b f2(x)r),h(x),dx =aintegral0^1f1(x)h(x),dx +bintegral0^1f2(x)h(x),dx =alang<= f1,hrang<= + blang<= f2,hrang<=

Passo 3

A simetria vem da comutatividade do produto real:
lang<= f,grang<= =integral0^1f(x),g(x),dx =integral0^1g(x),f(x),dx =lang<= g,frang<=

Passo 4

Para a positividade definida, note que para toda fin C([0,1],R) vale
lang<= f,frang<= =integral0^1f(x)^2,dx>=0
pois f(x)^2>=0. Se lang<= f,frang<==0, então
integral0^1f(x)^2,dx=0. Como f^2 é contínua, se existisse x0 com f(x0)neq0, haveria um intervalo em que f^2 fosse estritamente positiva, tornando o integral >0. Logo f(x)=0 para todo x, ou seja, f é a função nula, provando a positividade definida.

Resposta

Como lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz linearidade, simetria e positividade definida, trata-se de um produto interno em C([0,1],R). Portanto, esse espaço, equipado com lang<=cdot,cdotrang<=, é um espaço vetorial com produto interno (EVPI).

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