Cálculo! Fique a vontade para usar fatos conhecidos de Cálculo 1. Considere o subconjunto
Verifique que
é um produto interno. Assim,
é, com esse produto interno, um EVPI.
Passo 1
O enunciado introduz o espaço vetorial real
de todas as funções contínuas em
e define a aplicação
Para mostrar que
é um produto interno, precisamos verificar três propriedades: (i) linearidade no primeiro argumento, (ii) simetria e (iii) positividade definida.
Passo 2
Verificamos a linearidade no primeiro argumento usando a linearidade do integral de Riemann. Se
e
, então
Passo 3
A simetria vem da comutatividade do produto real:
Passo 4
Para a positividade definida, note que para toda
vale
pois
. Se
, então
. Como
é contínua, se existisse
com
, haveria um intervalo em que
fosse estritamente positiva, tornando o integral
. Logo
para todo
, ou seja,
é a função nula, provando a positividade definida.
Resposta
Como
satisfaz linearidade, simetria e positividade definida, trata-se de um produto interno em
. Portanto, esse espaço, equipado com
, é um espaço vetorial com produto interno (EVPI).