Sejam V um EVPI e B=v1, ldots, vk um conjunto de vetores não nulos e ortogonais entre si. Mostre que B é LI.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial com produto interno V e um conjunto
B = v1, dots, vk
de vetores não nulos tais que para todo i neq j vale
lang<= vi,vjrang<= = 0.
Queremos mostrar que B é linearmente independente (LI).

Passo 2

Lembrando a definição: B é LI se, sempre que uma combinação linear dos seus vetores for o vetor zero, todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero. Em outras palavras, devemos provar que
sumi=1^kalphai,vi = 0 Longrightarrow alpha1 = cdots = alphak = 0

Passo 3

Suponha
sumi=1^kalphai,vi = 0
para alguns escalares alpha1,dots,alphak. Para mostrar que cada alphaj=0, vamos tirar produto interno dessa soma com vj.

Passo 4

Pela linearidade e ortogonalidade, temos para cada j:
glang<= sumi=1^kalphai,vi,,vjgrang<= = sumi=1^kalphai,lang<= vi,vjrang<= = alphaj,lang<= vj,vjrang<= = 0
Como vj não é nulo, lang<= vj,vjrang<=>0. Logo alphaj=0. Isso vale para todo j=1,dots,k.

Resposta

O conjunto B é linearmente independente.

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