Sejam
um EVPI e
um conjunto de vetores não nulos e ortogonais entre si. Mostre que
é LI.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial com produto interno
e um conjunto
de vetores não nulos tais que para todo
vale
.
Queremos mostrar que é linearmente independente (LI).
Queremos mostrar que
Passo 2
Lembrando a definição:
é LI se, sempre que uma combinação linear dos seus vetores for o vetor zero, todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero. Em outras palavras, devemos provar que
Passo 3
Suponha
para alguns escalares
. Para mostrar que cada
, vamos tirar produto interno dessa soma com
.
Passo 4
Pela linearidade e ortogonalidade, temos para cada
:
Como
não é nulo,
. Logo
. Isso vale para todo
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.