Encontre uma base ortonormal para cada um dos subespaços gerados pelos conjuntos dados.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal para cada um dos subespaços gerados pelos conjuntos dados em
. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar os vetores em um sistema ortogonal e depois normalizar cada vetor, obtendo assim uma base ortonormal.
Passo 2
No caso (1) temos
e
. Primeiro calculamos o produto escalar
.
Como , os vetores já são ortogonais. Basta então normalizá-los:
Como
Definimos
Passo 3
No caso (2) temos
e
.
- Ortonormalizamos
:
,
. - Definimos
- Calculamos
,
e normalizamos
Passo 4
No caso (3) temos
,
,
.
- Ortonormalizamos
:
,
. - Calculamos
,
- Ao projetar
sobre e e subtrair, obtemos vetor nulo, logo gera um plano de dimensão 2. A base ortonormal é .
Passo 5
No caso (4) temos apenas
. Basta normalizar:
,
Resposta
(1)
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(3)
(4)
(2)
(3)
(4)