Encontre uma base ortonormal para cada um dos subespaços gerados pelos conjuntos dados.
(1) (1,1,-1),(1,0,1).
(2) (2,1,1),(1,3,-1).
(3) (1,2,1,3),(0,-1,1,0),(1,4,-1,3).
(4) (1,3,-3,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal para cada um dos subespaços gerados pelos conjuntos dados em R^n. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para transformar os vetores em um sistema ortogonal e depois normalizar cada vetor, obtendo assim uma base ortonormal.

Passo 2

No caso (1) temos v1=(1,1,-1) e v2=(1,0,1). Primeiro calculamos o produto escalar
lang<= v2,v1rang<= =1cdot1+0cdot1+1cdot(-1)=0.
Como lang<= v2,v1rang<==0, os vetores já são ortogonais. Basta então normalizá-los:
|v1|=raiz1+1+1=raiz3, |v2|=raiz1+0+1=raiz2
Definimos
e1=1raiz3(1,1,-1), e2=1raiz2(1,0,1)

Passo 3

No caso (2) temos v1=(2,1,1) e v2=(1,3,-1).
  1. Ortonormalizamos v1:
    |v1|=raiz2^2+1^2+1^2=raiz6,
    e1=(2,1,1)/raiz6.
  2. Definimos
u2 = v2 - lang<= v2,v1rang<=lang<= v1,v1rang<= ,v1 = (1,3,-1) - 46(2,1,1) =l(-tfrac13,tfrac73,-tfrac53r)
  1. Calculamos
    |u2|=raiztfrac19+tfrac499+tfrac259=raiztfrac759=5raiz3/3,
    e normalizamos
e2 = u2|u2| = (-tfrac13,tfrac73,-tfrac53)5raiz3/3 = 1raiz75(-1,7,-5)

Passo 4

No caso (3) temos v1=(1,2,1,3), v2=(0,-1,1,0), v3=(1,4,-1,3).
  1. Ortonormalizamos v1:
    |v1|=raiz1+4+1+9=raiz15,
    e1=v1/raiz15=(1,2,1,3)/raiz15.
  2. Calculamos
    lang<= v2,v1rang<==-1,
u2 = v2 - -115v1 = l(tfrac115,-tfrac1315,tfrac1615,tfrac15r),
|u2|=raiz435/15,
e2 = u2|u2| = 1raiz435,(1,-13,16,3)
  1. Ao projetar v3 sobre e1 e e2 e subtrair, obtemos vetor nulo, logo v1,v2,v3 gera um plano de dimensão 2. A base ortonormal é e1,e2.

Passo 5

No caso (4) temos apenas v=(1,3,-3,2). Basta normalizar:
|v|=raiz1+9+9+4=raiz23,
e = 1raiz23(1,3,-3,2)

Resposta

(1) ,tfrac1raiz3(1,1,-1),;tfrac1raiz2(1,0,1)
(2) ,tfrac1raiz6(2,1,1),;tfrac1raiz75(-1,7,-5)
(3) ,tfrac1raiz15(1,2,1,3),;tfrac1raiz435(1,-13,16,3)
(4) ,tfrac1raiz23(1,3,-3,2)

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