Encontre o polinômio caraterístico, os autovalores e os autovetores dos operadores lineares dados, com respeito à base canônica, pelas seguintes matrizes. Quais são diagonalizáveis? Para aqueles que são diagonalizáveis, encontre uma base do espaço com respeito a qual a matriz de é diagonal.
(1) ,
(2) (lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0),
(3) (ccc2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2),
(4) (cc1 & -2 2 & 4).
Este exemplo pode ser visto como uma (5) (ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2).
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das matrizes dadas na base canônica de R^n: 1. O polinômio característico chi(lambda). 2. Os autovalores e os autovetores. 3. Verificar quais são diagonalizáveis sobre R. 4. Para os que são diagonalizáveis, apresentar uma base de autovetores que leva a matriz a forma diagonal.
Logo os autovalores são lambda=0 e lambda=2.
Para lambda=0 resolvemos A,x=0, o que dá x1+x2=0, autovetor (1,-1).
Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0, o que dá x1=x2, autovetor (1,1).
São dois autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.
Base de autovetores: (1,-1),(1,1).
Passo 3
Matriz (2):
B=0&1&20&0&30&0&0
É triangular superior com zeros na diagonal, então
chi(lambda)=(-lambda)^3=-lambda^3equivlambda^3,
autovalor único lambda=0 de multiplicidade algébrica 3.
Resolvendo B,x=0 obtemos apenas um parâmetro livre, ou seja multiplicidade geométrica 1.
Como 3>1, Bnão é diagonalizável.