Encontre o polinômio caraterístico, os autovalores e os autovetores dos operadores lineares T: R^n R^n dados, com respeito à base canônica, pelas seguintes matrizes. Quais são diagonalizáveis? Para aqueles que são diagonalizáveis, encontre uma base do espaço R^n com respeito a qual a matriz de T é diagonal.
(1) (ll1 & 1 1 & 1),
(2) (lll0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0),
(3) (ccc2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2),
(4) (cc1 & -2 2 & 4).
Este exemplo pode ser visto como uma (5) (ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2).

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das matrizes dadas na base canônica de R^n:
1. O polinômio característico chi(lambda).
2. Os autovalores e os autovetores.
3. Verificar quais são diagonalizáveis sobre R.
4. Para os que são diagonalizáveis, apresentar uma base de autovetores que leva a matriz a forma diagonal.

Passo 2

Matriz ( 1):
A=1&11&1
O polinômio característico é
chi(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det1-lambda&11&1-lambda =(1-lambda)^2-1 =lambda(lambda-2)
Logo os autovalores são lambda=0 e lambda=2.
Para lambda=0 resolvemos A,x=0, o que dá x1+x2=0, autovetor (1,-1).
Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0, o que dá x1=x2, autovetor (1,1).
São dois autovetores linearmente independentes, logo A é diagonalizável.
Base de autovetores: (1,-1),(1,1).

Passo 3

Matriz ( 2):
B=0&1&20&0&30&0&0
É triangular superior com zeros na diagonal, então
chi(lambda)=(-lambda)^3=-lambda^3equivlambda^3,
autovalor único lambda=0 de multiplicidade algébrica 3.
Resolvendo B,x=0 obtemos apenas um parâmetro livre, ou seja multiplicidade geométrica 1.
Como 3>1, B não é diagonalizável.

Passo 4

Matriz ( 3):
C=2&-2&30&3&-20&-1&2
Calculamos
chi(lambda)=det(C-lambda I) =(2-lambda)l((3-lambda)(2-lambda)-2r) =(2-lambda)(lambda-1)(lambda-4)
Autovalores distintos 2,1,4, logo diagonalizável.
Autovetores:
  • lambda=2: y=0,;z=0, vetores múltiplos de (1,0,0).
  • lambda=1: y=z,;x=-z, vetores múltiplos de (-1,1,1).
  • lambda=4: y=-2z,;x=tfrac72z, vetores múltiplos de (7,-4,2).
    Base de autovetores: (1,0,0),,(-1,1,1),,(7,-4,2).

Passo 5

Matriz ( 4):
D=1&-22&4
Temos
chi(lambda)=detl(D-lambda Ir) =(1-lambda)(4-lambda)+4 =lambda^2-5lambda+8
O discriminante é 25-32=-7<0, não há autovalores reais, portanto não é diagonalizável sobre R.

Passo 6

Matriz ( 5):
E=1&0&0-1&3&03&2&-2
É triangular (na forma inferior), logo
chi(lambda)=(1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda)
Autovalores distintos 1,3,-2, logo diagonalizável.
Autovetores:
  • lambda=1: do sistema
    0&0&0-1&2&03&2&-3x=0
    vem x=2y,;z=tfrac83y, dá vetor (6,3,8).
  • lambda=3: do sistema
    -2&0&0-1&0&03&2&-5x=0
    vem x=0,;y=tfrac52z, dá vetor (0,5,2).
  • lambda=-2: do sistema
    3&0&0-1&5&03&2&0x=0
    vem x=0,;y=0, dá vetor (0,0,1).
    Base de autovetores: (6,3,8),,(0,5,2),,(0,0,1).

Resposta

( 1) chi(lambda)=lambda(lambda-2); autovalores 0,2; autovetores (1,-1), (1,1); diagonalizável em base (1,-1),(1,1).
( 2) chi(lambda)=lambda^3; autovalor 0 (mult.\ alg.\ 3, mult.\ geom.\ 1); não diagonalizável.
( 3) chi(lambda)=(2-lambda)(lambda-1)(lambda-4); autovalores 2,1,4; autovetores (1,0,0), (-1,1,1), (7,-4,2); diagonalizável em base (1,0,0),(-1,1,1),(7,-4,2).
( 4) chi(lambda)=lambda^2-5lambda+8; sem autovalores reais; não diagonalizável sobre R.
( 5) chi(lambda)=(1-lambda)(3-lambda)(-2-lambda); autovalores 1,3,-2; autovetores (6,3,8), (0,5,2), (0,0,1); diagonalizável em base (6,3,8),(0,5,2),(0,0,1).

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