Sejam
um EVPI e
e
subespaços de
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço com produto interno
, dados subespaços
e
, vale a igualdade
Para isso vamos usar a definição de ortogonal: para qualquer subconjunto
,
Passo 2
Mostramos primeiro
Seja
. Então
para todo
e
para todo
. Qualquer vetor em
é da forma
. Logo
para todo
,
. Isso mostra que
.
Passo 3
Agora mostramos
Seja
. Então, em particular, para todo
podemos escrever
, e portanto
Isso mostra
. De modo análogo, para todo
temos
e assim
, ou seja
. Logo
.