Sejam V um EVPI e W1 e W2 subespaços de V. Mostre que (W1+W2)^perp=W1^perp cap W2^perp.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço com produto interno V, dados subespaços W1 e W2, vale a igualdade
l(W1+W2r)^perp = W1^perp,cap,W2^perp
Para isso vamos usar a definição de ortogonal: para qualquer subconjunto Wsubset V,
W^perp = ,vin V mid lang<= v,wrang<= = 0 forall win W

Passo 2

Mostramos primeiro
W1^perp,cap,W2^perp subseteq l(W1+W2r)^perp
Seja vin W1^perpcap W2^perp. Então lang<= v,w1rang<==0 para todo w1in W1 e lang<= v,w2rang<==0 para todo w2in W2. Qualquer vetor em W1+W2 é da forma w1+w2. Logo
lang<= v,,w1+w2rang<= = lang<= v,w1rang<= + lang<= v,w2rang<= = 0 + 0 = 0
para todo w1in W1, w2in W2. Isso mostra que vin (W1+W2)^perp.

Passo 3

Agora mostramos
l(W1+W2r)^perp subseteq W1^perp,cap,W2^perp
Seja vin (W1+W2)^perp. Então, em particular, para todo w1in W1 podemos escrever w1 = w1+0in W1+W2, e portanto
lang<= v,w1rang<= = 0
Isso mostra vin W1^perp. De modo análogo, para todo w2in W2 temos 0+w2in W1+W2 e assim lang<= v,w2rang<==0, ou seja vin W2^perp. Logo vin W1^perpcap W2^perp.

Resposta

l(W1+W2r)^perp = W1^perp,cap,W2^perp

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