Cálculo! Fique a vontade para usar fatos conhecidos de Cálculo 1. Considere o subconjunto
C([0,1], R)=f in F([0,1], R): f é contínua éí
Encontre uma base ortonormal do subespaço gerado pelo conjunto 1, x, x^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base ortonormal do subespaço gerado por 1,x,x^2 em C([0,1], R) usando o produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(x)g(x),dx
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt a 1,x,x^2.

Passo 2

Tomamos v1(x)=1. Sua norma é
|v1|^2=integral0^11^2,dx=1,
logo já está normalizado e define
e1(x)=1

Passo 3

Para ortogonalizar x em relação a e1 definimos
v2(x)=x-lang<= x,e1rang<=,e1 =x-integral0^1x,dxcdot1 =x-tfrac12
Calculamos
|v2|^2=integral0^1l(x-tfrac12r)^2dx =tfrac112,
logo
e2(x)=v2(x)|v2|=2raiz3l(x-tfrac12r)

Passo 4

Para x^2 removemos as projeções em e1,e2:
v3(x) = x^2-lang<= x^2,e1rang<=,e1-lang<= x^2,e2rang<=,e2
Como
lang<= x^2,e1rang<==integral0^1x^2dx=tfrac13
e
lang<= x^2,e2rang<= =2raiz3l(integral0^1x^3dx-tfrac12integral0^1x^2dxr) =2raiz3l(tfrac14-tfrac16r) =tfracraiz36,
segue
v3(x) =x^2-tfrac13-tfracraiz36,2raiz3l(x-tfrac12r) =x^2-x+tfrac16
Sua norma é
|v3|^2 =integral0^1l(x^2-x+tfrac16r)^2dx =tfrac1180,
e portanto
e3(x)=v3(x)|v3|=6raiz5l(x^2-x+tfrac16r)

Resposta

A base ortonormal é
e1(x)=1, e2(x)=2raiz3l(x-tfrac12r), e3(x)=6raiz5l(x^2-x+tfrac16r)

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