Considere V um espaço vetorial sobre R de dimensão finita com um produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Dada uma base B=v1, ldots, vm de V, mostre que, se v, w in V têm coordenadas [v]B=(a1, ldots, am) e [w]B=(b1, ldots, bm) na base B, respectivamente, então lang<= v, wrang<==[v]B G[w]B^t, onde G=(lang<= vi, vjrang<=)i, j in Mm times m(R). Se v neq 0, mostre que [v]B G[v]B^t> 0 e conclua que G é invertível.

Passo 1

O enunciado pertence ao conteúdo de produto interno e matrizes de Gram. Temos um espaço vetorial real V de dimensão finita, uma base B=v1,dots,vm e o produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. Queremos mostrar duas coisas:
  1. Se as coordenadas de v e w em B são
    [v]B=(a1,dots,am) e [w]B=(b1,dots,bm), então
lang<= v,wrang<= ;=;[v]B;G;[w]B^t,
onde
G=l(lang<= vi,vjrang<=r)i,jinMmtimes m(R)
é a matriz de Gram.
2. Se vneq0, então [v]B,G,[v]B^t>0 e, daí, G é invertível.

Passo 2

Escrevemos
Pela bilinearidade do produto interno,
Mas isso é exatamente a forma matricial
ou seja

Passo 3

Para vneq0 temos lang<= v,vrang<=>0 pela positividade do produto interno. Mas
lang<= v,vrang<= =[v]B;G;[v]B^t
Como [v]Bneq(0,dots,0), isso mostra que para todo vetor não-nulo a=[v]B vale
a,G,a^t>0,
isto é, G é positiva definida. Matrizes positivas definidas são invertíveis.

Resposta

lang<= v,wrang<==[v]B,G,[w]B^t.
Para vneq0 segue [v]B,G,[v]B^t>0, logo G é invertível.

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