Considere
um espaço vetorial sobre
de dimensão finita com um produto interno
. Dada uma base
de
, mostre que, se
têm coordenadas
e
na base
, respectivamente, então
, onde
. Se
, mostre que
0 e conclua que
é invertível.
Passo 1
O enunciado pertence ao conteúdo de produto interno e matrizes de Gram. Temos um espaço vetorial real
de dimensão finita, uma base
e o produto interno
. Queremos mostrar duas coisas:
- Se as coordenadas de
e em são
e , então
onde
é a matriz de Gram.
2. Se , então
e, daí,
é invertível.
2. Se
Passo 2
Escrevemos
Pela bilinearidade do produto interno,
Mas isso é exatamente a forma matricial
ou seja
Passo 3
Para
temos
pela positividade do produto interno. Mas
Como
, isso mostra que para todo vetor não-nulo
vale
isto é,
é positiva definida. Matrizes positivas definidas são invertíveis.
Resposta
Para