Seja um espaço vetorial sobre , com um produto interno . Seja um conjunto de elementos de tais que . Suponha que para todo v in V, temos |v|^2=sumi=1^mlang<= v, virang<=^2 (identidade de Parseval). Mostre que v1, ldots, vm é uma base de V.
Passo 1
O enunciado trata de um espaço vetorial V real com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e de um conjunto ortonormal v1,dots,vm em V tal que, para todo vin V, vale a identidade de Parseval
|v|^2 ;=;sumi=1^mlang<= v,virang<=^2
Precisamos mostrar que v1,dots,vm é base de V, ou seja, que é linearmente independente e gera todo V.
Passo 2
Mostramos primeiramente a independência linear. Suponha que existam escalares c1,dots,cminR tais que
sumi=1^mci,vi = 0
Tomando produto interno com vj, pela ortonormalidade vem