Seja V um espaço vetorial sobre R, com um produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Seja v1, ldots, vm um conjunto de elementos de V tais que lang<= vi, vjrang<==ll1, & se i=j 0, & se i neq j. Suponha que para todo v in V, temos |v|^2=sumi=1^mlang<= v, virang<=^2 (identidade de Parseval). Mostre que v1, ldots, vm é uma base de V.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço vetorial V real com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e de um conjunto ortonormal
v1,dots,vm em V tal que, para todo vin V, vale a identidade de Parseval
|v|^2 ;=;sumi=1^mlang<= v,virang<=^2
Precisamos mostrar que v1,dots,vm é base de V, ou seja, que é linearmente independente e gera todo V.

Passo 2

Mostramos primeiramente a independência linear. Suponha que existam escalares c1,dots,cminR tais que
sumi=1^mci,vi = 0
Tomando produto interno com vj, pela ortonormalidade vem
llang<= sumi=1^mcivi,,vjrrang<= =sumi=1^mcilang<= vi,vjrang<= =cj=0
Como isso vale para todo j, segue c1=cdots=cm=0. Logo o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Agora provamos que vi gera V. Seja vin V qualquer e defina o vetor
P(v);=;sumi=1^mlang<= v,virang<=,vi
que claramente está em spanv1,dots,vm. Considere a diferença
d ;=; v - P(v)
Para cada i temos
lang<= d,virang<= =lang<= v,virang<= -lang<= P(v),virang<= =lang<= v,virang<= -sumj=1^mlang<= v,vjrang<=lang<= vj,virang<= =lang<= v,virang<= -lang<= v,virang<= =0,
ou seja, d é ortogonal a todos os vi. Aplicando a identidade de Parseval a d,
|d|^2 =sumi=1^mlang<= d,virang<=^2 =sumi=1^m0^2 =0 Longrightarrow d=0
Daí v=P(v)inspanv1,dots,vm. Como v era arbitrário, conclui-se que esse span é todo V.

Resposta

O conjunto v1,dots,vm é linearmente independente (por ortonormalidade) e gera V (pela identidade de Parseval), portanto é base de V.

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