Sejam V um EVPI e W o subespaço de V gerado pelos vetores v1, ldots, vk. Mostre que v in W^perp se e somente se v é ortogonal a vi, i=1, ldots, k.

Passo 1

O enunciado fala de um espaço vetorial com produto interno V e do subespaço
W = Spanv1,dots,vk
Queremos mostrar que
vin W^perpLong<=ftrightarrow lang<= v,virang<= = 0para i=1,dots,k
Vamos usar a definição do complemento ortogonal
W^perp = vin V : lang<= v,wrang<= = 0;forall,win W
e as propriedades de linearidade do produto interno.

Passo 2

Suponha que lang<= v,virang<= = 0 para todo i=1,dots,k. Seja um vetor arbitrário
w in W
Como W é o span de vi, podemos escrever
w = sumi=1^k ai,vi
para certos escalares ai. Usando bilinearidade (linearidade em cada argumento) do produto interno, obtemos
lang<= v,wrang<= = llang<= v,sumi=1^k aivirrang<= = sumi=1^k ai,lang<= v,virang<= = sumi=1^k aicdot 0 = 0
Logo lang<= v,wrang<==0 para todo win W, isto é, vin W^perp.

Passo 3

Agora suponha vin W^perp. Por definição de complemento ortogonal, temos
lang<= v,wrang<= = 0 forall,win W
Mas cada gerador vi pertence a W. Portanto, em particular,
lang<= v,virang<= = 0 para i=1,dots,k
Isso mostra a outra implicação.

Resposta

Fica demonstrado que
vin W^perp Long<=ftrightarrow lang<= v,virang<= = 0 para i=1,dots,k

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