Sejam
um EVPI e
o subespaço de
gerado pelos vetores
. Mostre que
se e somente se
é ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado fala de um espaço vetorial com produto interno
e do subespaço
Queremos mostrar que
Vamos usar a definição do complemento ortogonal
e as propriedades de linearidade do produto interno.
Passo 2
Suponha que
para todo
. Seja um vetor arbitrário
Como
é o span de
, podemos escrever
para certos escalares
. Usando bilinearidade (linearidade em cada argumento) do produto interno, obtemos
Logo
para todo
, isto é,
.
Passo 3
Agora suponha
. Por definição de complemento ortogonal, temos
Mas cada gerador
pertence a
. Portanto, em particular,
Isso mostra a outra implicação.
Resposta
Fica demonstrado que