A 1) No cálculo das integrais duplas, associadas a funções de duas variáveis reais, um dos principais aspectos a ser analisado corresponde aos limites de integração, derivados das regiões de integração. Analise as seguintes afirmações a respeito deste tema: 1 I. A região de integração correspondente a 3xexy dy dx é dada por R = [0,1] × [−1, 1] = {(x, y) Є R²; 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1} 3 II. A região de integração correspondente a ³ cos (3x) dx dy é dada por R = [1,3] × [0, 1] = {(x, y) € R²; 1 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1} 1 III. A região de integração correspondente a f₁x²sen (y) dx dy é dada por R = [0,1] x [−1, 1] = {(x, y) E R²; 0 ≤ x ≤ 1,-1 ≤ y ≤ 1} Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. Alternativas: a) Apenas a afirmação II está correta. hl Apenas a afirmação III está correta. qual alternativa correta?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma questão sobre integrais duplas, que é quando a gente integra uma função de duas variáveis, tipo $ f(x, y) $. O foco aqui é entender as regiões de integração, ou seja, quais são os limites de $ x $ e $ y $ que a gente vai usar para calcular a integral. O exercício apresenta três afirmações sobre diferentes integrais duplas e pede para identificar qual(is) delas está(ão) correta(s). Vamos analisar cada uma passo a passo!
Passo 2
Afirmação I:
A integral é $ 3x e^{xy} , dy , dx $ e a região de integração $ R $ foi definida como $ [0,1] \times [-1, 1] $, o que significa que $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de -1 a 1.
A integral é $ 3x e^{xy} , dy , dx $ e a região de integração $ R $ foi definida como $ [0,1] \times [-1, 1] $, o que significa que $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de -1 a 1.
Análise:
Quando a gente tem uma integral dupla na forma $ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) , dy , dx $, isso quer dizer que $ x $ vai de $ a $ a $ b $ e, para cada $ x $, $ y $ vai de $ c $ a $ d $. No caso, $ x $ está indo de 0 a 1 e $ y $ de -1 a 1. A definição da região $ R $ está correta, mas o que precisamos verificar é se essa região está de acordo com a função dada. Como a função $ 3x e^{xy} $ não impõe restrições adicionais sobre $ x $ e $ y $, a região está bem definida. Portanto, a Afirmação I está correta.
Quando a gente tem uma integral dupla na forma $ \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) , dy , dx $, isso quer dizer que $ x $ vai de $ a $ a $ b $ e, para cada $ x $, $ y $ vai de $ c $ a $ d $. No caso, $ x $ está indo de 0 a 1 e $ y $ de -1 a 1. A definição da região $ R $ está correta, mas o que precisamos verificar é se essa região está de acordo com a função dada. Como a função $ 3x e^{xy} $ não impõe restrições adicionais sobre $ x $ e $ y $, a região está bem definida. Portanto, a Afirmação I está correta.
Passo 3
Afirmação II:
A integral é $ 3 \cos(3x) , dx , dy $ e a região de integração $ R $ foi definida como $ [1,3] \times [0, 1] $, ou seja, $ x $ de 1 a 3 e $ y $ de 0 a 1.
A integral é $ 3 \cos(3x) , dx , dy $ e a região de integração $ R $ foi definida como $ [1,3] \times [0, 1] $, ou seja, $ x $ de 1 a 3 e $ y $ de 0 a 1.
Análise:
Aqui, a integral está escrita como $ \int_{1}^{3} \int_{0}^{1} 3 \cos(3x) , dy , dx $. Isso significa que $ x $ vai de 1 a 3 e $ y $ de 0 a 1. A função $ 3 \cos(3x) $ depende apenas de $ x $, então para cada $ x $ entre 1 e 3, $ y $ varia de 0 a 1 sem problemas. Logo, a Afirmação II também está correta.
Aqui, a integral está escrita como $ \int_{1}^{3} \int_{0}^{1} 3 \cos(3x) , dy , dx $. Isso significa que $ x $ vai de 1 a 3 e $ y $ de 0 a 1. A função $ 3 \cos(3x) $ depende apenas de $ x $, então para cada $ x $ entre 1 e 3, $ y $ varia de 0 a 1 sem problemas. Logo, a Afirmação II também está correta.
Passo 4
Afirmação III:
A integral é $ x^2 \sin(y) , dx , dy $ e a região de integração $ R $ foi definida como $ [0,1] \times [-1, 1] $, ou seja, $ x $ de 0 a 1 e $ y $ de -1 a 1.
A integral é $ x^2 \sin(y) , dx , dy $ e a região de integração $ R $ foi definida como $ [0,1] \times [-1, 1] $, ou seja, $ x $ de 0 a 1 e $ y $ de -1 a 1.
Análise:
A integral está na forma $ \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} x^2 \sin(y) , dy , dx $. Aqui, $ x $ vai de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ vai de -1 a 1. A função $ x^2 \sin(y) $ também não impõe restrições adicionais sobre $ x $ e $ y $, então a região está adequada. Portanto, a Afirmação III está correta.
A integral está na forma $ \int_{0}^{1} \int_{-1}^{1} x^2 \sin(y) , dy , dx $. Aqui, $ x $ vai de 0 a 1 e, para cada $ x $, $ y $ vai de -1 a 1. A função $ x^2 \sin(y) $ também não impõe restrições adicionais sobre $ x $ e $ y $, então a região está adequada. Portanto, a Afirmação III está correta.
Resposta
Alternativa correta: Ambas as afirmações I e III estão corretas.
Observação: A opção original não mencionava essa combinação, mas, conforme a análise, as Afirmações I e III são corretas.