Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Utilize o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite. Compare cada termo an com uma série conhecida, como p-séries, séries geométricas, séries telescópicas, etc.)
sumn=1^infty n-1n^2 raizn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n-1n^2raizn
O conteúdo principal é teste de convergência de séries de termos positivos, usando o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação no Limite. Vamos reduzir o termo geral e compará-lo com uma p-série conhecida.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma mais simples:
an = n-1n^2raizn = n-1n^5/2

Passo 3

Para todo n>=1 temos 0<= n-1<= n. Logo
0 ;<=; an = n-1n^5/2 ;<=; nn^5/2 = 1n^3/2

Passo 4

Recordando que a p-série
sumn=1^infty 1n^p
converge se, e somente se, p>1, vemos que com p=tfrac32>1 a série
sum 1/n^3/2 converge.
Pelo Teste da Comparação Direta, como
0 <= an <= 1/n^3/2
e sum 1/n^3/2 converge, concluímos que
sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n-1n^2raizn é convergente.

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