1. No cálculo de uma integral tripla faz-se necessário representar adequadamente a região de integração, para que seja possível reconhecer os limites de
    integração corretamente e calcular as integrais iteradas segundo uma ordem correta, conforme indica o teorema de Fubini.
    Nesse sentido, considere a região R no espaço cartesiano limitada superiormente pelo plano x+y+z-2=0 e inferiormente pelo plano xy (z = 0).
    Assinale a alternativa que apresenta corretamente a descrição da região R:
    Alternativas:
    a) R={(x, y, z)| 0≤x≤2, 0 ≤ y ≤2+x, 0 ≤ Z ≤ x+y-2}
    b) R= {(x, y, z)| 0≤x≤ 1,0≤ y ≤1-x, 0 ≤ Z ≤1-x-y}
    c) R = {(x, y, z)| 0≤x≤2,0≤ y ≤2-x, 0 ≤ Z ≤ 2-y}
    d) R= {(x, y, z)| 0≤x≤2, 0 ≤ y ≤2, 0 ≤ z e) R= {(x, y, z)| 0≤ x ≤2, 0 ≤ y ≤2-x, 0 ≤ z ≤2-x-y}

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como representar uma região no espaço tridimensional para calcular uma integral tripla usando o Teorema de Fubini. A gente precisa entender os limites dessa região R, que é limitada de cima pelo plano $ x + y + z = 2 $ e de baixo pelo plano $ z = 0 $. Para resolver, vamos identificar os limites de integração para $ x $, $ y $ e $ z $ de forma correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os planos que delimitam a região R. O plano superior é $ x + y + z = 2 $, que podemos rearranjar para expressar $ z $:
x + y + z = 2
O plano inferior é simplesmente $ z = 0 $. Isso significa que $ z $ varia de 0 até $ 2 - x - y $.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir os limites para $ x $ e $ y $. Para isso, observamos onde o plano $ x + y + z = 2 $ intercepta os eixos $ x $ e $ y $ quando $ z = 0 $:
  • Quando $ z = 0 $, temos $ x + y = 2 $. Isso é uma reta no plano $ xy $ que vai de $ x = 0, y = 2 $ até $ x = 2, y = 0 $.
Então, $ x $ varia de 0 a 2.

Passo 4

Para cada valor de $ x $, o valor de $ y $ varia de 0 até $ 2 - x $ (já que $ x + y \leq 2 $).

Passo 5

Recapitulando:
  • $ 0 \leq x \leq 2 $
  • Para cada $ x $, $ 0 \leq y \leq 2 - x $
  • Para cada $ x $ e $ y $, $ 0 \leq z \leq 2 - x - y $

Resposta

A alternativa que descreve corretamente a região R é a letra e).

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