Considere a superfície S com representação paramétrica dada por: bold r left parenthesis u comma v right parenthesis equals left parenthesis u plus v right parenthesis space space bold i plus left parenthesis u minus v right parenthesis space space bold j plus bold k em que 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2. Além disso, considere a função de três variáveis definida por: f left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals x plus y plus z Com base nessas informações, calcule a integral de superfície integral integral subscript S open parentheses x plus y plus z close parentheses d S Assinale a alternativa que indica o resultado correto obtido por meio do cálculo dessa integral. Escolha uma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície $ S $ definida por uma representação paramétrica S onde r(u, v) = (u + v)i + (u - v)j + k e 0 <= u <= 1. Além disso, temos uma função $ f(x, y, z) = x + y + z $. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície 0 <= v <= 2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de r(u, v) em relação a u e v. Isso vai nos ajudar a determinar um vetor normal à superfície, necessário para calcular dS.
ru = partial rpartial u = partialpartial u [(u + v)i + (u - v)j + k] = i + j
rv = partial rpartial v = partialpartial v [(u + v)i + (u - v)j + k] = i - j

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv, que nos dá um vetor perpendicular à superfície. A magnitude desse vetor será usada para dS.
ru times rv = i & j & k 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 = i(1 cdot 0 - 0 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 0 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) = 0i - 0j -2k
A magnitude é:
|ru times rv| = raiz0^2 + 0^2 + (-2)^2 = 2

Passo 4

Vamos substituir a parametrização na função $ f(x, y, z) $:
f(x, y, z)

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla sobre os parâmetros u e v:
integral duplaS (x + y + z) , dS = integral0^1 integral0^2 (2u + 1) cdot 2 , dv , du
Vamos resolver a integral interna em v:
integral0^2 (2u + 1) cdot 2 , dv = 2(2u + 1) cdot v |0^2 = 2(2u + 1) cdot 2 = 4(2u + 1)
Agora, integraremos em u:
integral0^1 4(2u + 1) , du = 4 ( integral0^1 2u , du + integral0^1 1 , du ) = 4 ( u^2 |0^1 + u |0^1 ) = 4 (1 + 1) = 8

Resposta

O valor da integral de superfície é 8.

Exercícios relacionados