Considere a superfície S com representação paramétrica dada por: bold r left parenthesis u comma v right parenthesis equals left parenthesis u plus v right parenthesis space space bold i plus left parenthesis u minus v right parenthesis space space bold j plus bold k em que 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2. Além disso, considere a função de três variáveis definida por: f left parenthesis x comma y comma z right parenthesis equals x plus y plus z Com base nessas informações, calcule a integral de superfície integral integral subscript S open parentheses x plus y plus z close parentheses d S Assinale a alternativa que indica o resultado correto obtido por meio do cálculo dessa integral. Escolha uma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície $ S $ definida por uma representação paramétrica onde e . Além disso, temos uma função $ f(x, y, z) = x + y + z $. Nosso objetivo é calcular a integral de superfície . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como parametrização de superfícies e cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso vai nos ajudar a determinar um vetor normal à superfície, necessário para calcular .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dá um vetor perpendicular à superfície. A magnitude desse vetor será usada para .
A magnitude é:
|ru times rv| = raiz0^2 + 0^2 + (-2)^2 = 2
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função $ f(x, y, z) $:
f(x, y, z)
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla sobre os parâmetros u e v:
integral duplaS (x + y + z) , dS = integral0^1 integral0^2 (2u + 1) cdot 2 , dv , du