Uma partícula move-se de acordo com os seguintes dados: : a(t) = v’(t) = 10 + 3t – 3t², p (0) = 0, p(2) = 10. Qual é a função que exprime a posição da partícula?
A. p(t) = -5t + 5t² + (1/2)t³ + (1/4)t⁴
B. p(t) = +5t + 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
C. p(t) = +5t + 5t² + (1/2)t³ + (1/4)t⁴
D. p(t) = -5t + 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
E. p(t) = -5t - 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo, e foram dadas algumas informações sobre como ela se move ao longo do tempo. A gente precisa encontrar a função que descreve a posição da partícula, chamada de $ p(t) $.
Aqui estão os dados que a gente tem:
  • A aceleração da partícula é $ a(t) = 10 + 3t - 3t^2 $. A aceleração é a derivada da velocidade.
  • A posição inicial da partícula é $ p(0) = 0 $. Isso significa que, no tempo $ t = 0 $, a partícula está na posição 0.
  • No tempo $ t = 2 $, a posição da partícula é $ p(2) = 10 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integrações, porque estamos lidando com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade:
a(t) = v'(t) = 10 + 3t - 3t^2
Para encontrar $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
v(t)
Vamos fazer essa integração termo a termo:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (10 + 3t - 3t^2) , dt
Onde $ C_1 $ é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição $ p(t) $ da partícula, que é a integral da velocidade:
p(t)
Integrando cada termo:
p(t) = integral v(t) , dt = integral (10t + 32t^2 - t^3 + C1) , dt
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, sabemos que $ p(0) = 0 $:
C1
Então, nossa função fica:
C2

Passo 5

Agora, usamos a condição $ p(2) = 10 $:
p(2) = 10
Calculando cada termo:
10 = 5(2)^2 + 12(2)^3 - 14(2)^4 + C1 (2)

Passo 6

Agora que temos todas as constantes, podemos escrever a função completa da posição:
p(t) = 5t^2 + 12t^3 - 14t^4 - 5t
Simplificando:
p(t) = -5t + 5t^2 + 12t^3 - 14t^4

Resposta

A função que exprime a posição da partícula é a opção D:
p(t) = -5t + 5t^2 + 12t^3 - 14t^4

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