Uma partícula move-se de acordo com os seguintes dados: : a(t) = v’(t) = 10 + 3t – 3t², p (0) = 0, p(2) = 10. Qual é a função que exprime a posição da partícula?
A. p(t) = -5t + 5t² + (1/2)t³ + (1/4)t⁴
B. p(t) = +5t + 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
C. p(t) = +5t + 5t² + (1/2)t³ + (1/4)t⁴
D. p(t) = -5t + 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
E. p(t) = -5t - 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
A. p(t) = -5t + 5t² + (1/2)t³ + (1/4)t⁴
B. p(t) = +5t + 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
C. p(t) = +5t + 5t² + (1/2)t³ + (1/4)t⁴
D. p(t) = -5t + 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
E. p(t) = -5t - 5t² + (1/2)t³ - (1/4)t⁴
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo, e foram dadas algumas informações sobre como ela se move ao longo do tempo. A gente precisa encontrar a função que descreve a posição da partícula, chamada de $ p(t) $.
Aqui estão os dados que a gente tem:
- A aceleração da partícula é $ a(t) = 10 + 3t - 3t^2 $. A aceleração é a derivada da velocidade.
- A posição inicial da partícula é $ p(0) = 0 $. Isso significa que, no tempo $ t = 0 $, a partícula está na posição 0.
- No tempo $ t = 2 $, a posição da partícula é $ p(2) = 10 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente integrações, porque estamos lidando com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade:
Para encontrar $ v(t) $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Vamos fazer essa integração termo a termo:
Onde $ C_1 $ é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição $ p(t) $ da partícula, que é a integral da velocidade:
Integrando cada termo:
Onde $ C_2 $ é outra constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, sabemos que $ p(0) = 0 $:
Então, nossa função fica:
Passo 5
Agora, usamos a condição $ p(2) = 10 $:
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora que temos todas as constantes, podemos escrever a função completa da posição:
Simplificando:
Resposta
A função que exprime a posição da partícula é a opção D: