No cálculo de um limite que envolve uma fração, pode ocorrer do denominador da fração se aproximar de zero. Nesse caso, não podemos aplicar a regra do quociente para limites. Ao invés disso, podemos tentar efetuar alguma manipulação algébrica de modo a reescrever
a fração de uma outra maneira, na qual possamos aplicar as regras usuais de limite. Por exemplo
Nos itens seguintes, após fazer as devidas simplificações, calcule o limite pedido.
a fração de uma outra maneira, na qual possamos aplicar as regras usuais de limite. Por exemplo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui estamos lidando com um limite de uma função racional, ou seja, uma fração em que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes precisamos simplificar a fração fatorando os polinômios e cancelando termos comuns.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na fração para ver o que acontece:
A substituição direta resultou em uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a fração.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
- Numerador:
Podemos fatorar um:
Agora, fatorando o trinomio quadrado:
- Denominador:
Vamos fatorar esse trinomio:
Passo 4
Agora, reescrevemos a fração com os fatores:
Observamos que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo:
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é igual a
.