No cálculo de um limite que envolve uma fração, pode ocorrer do denominador da fração se aproximar de zero. Nesse caso, não podemos aplicar a regra do quociente para limites. Ao invés disso, podemos tentar efetuar alguma manipulação algébrica de modo a reescrever
a fração de uma outra maneira, na qual possamos aplicar as regras usuais de limite. Por exemplo
lim x 1 x-1x^2+2 x-3=lim x 1 x-1(x-1)(x+3)=lim x 1 1x+3=14
Nos itens seguintes, após fazer as devidas simplificações, calcule o limite pedido.
lim x 2 x^3-x^2-2 xx^2+2 x-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 2 x^3-x^2-2 xx^2+2 x-8
Aqui estamos lidando com um limite de uma função racional, ou seja, uma fração em que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes precisamos simplificar a fração fatorando os polinômios e cancelando termos comuns.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na fração para ver o que acontece:
2^3 - 2^2 - 2 times 22^2 + 2 times 2 - 8 = 8 - 4 - 44 + 4 - 8 = 00
A substituição direta resultou em uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos simplificar a fração.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador:
  • Numerador: x^3 - x^2 - 2x
    Podemos fatorar um x :
x(x^2 - x - 2)
Agora, fatorando o trinomio quadrado:
x(x - 2)(x + 1)
  • Denominador: x^2 + 2x - 8
    Vamos fatorar esse trinomio:
(x + 4)(x - 2)

Passo 4

Agora, reescrevemos a fração com os fatores:
x(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x - 2)
Observamos que o fator (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo:
x(x + 1)x + 4

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo x = 2 :
2(2 + 1)2 + 4 = 2 times 36 = 66 = 1

Resposta

O limite é igual a 1 .

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