Determine a solução geral das edos Redutíveis:
x+2 y+1-(2 x+4 y+3) d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x + 2y + 1 ;-;(2x + 4y + 3),dydx ;=;0
e pede a solução geral. Isso é uma equação redutível, pois as funções em x e y são lineares. Vamos usar uma substituição que transforme em equação separável.

Passo 2

Isolamos dfracdydx:
(2x+4y+3),dydx ;=; x+2y+1 Longrightarrow dydx ;=;x+2y+12x+4y+3

Passo 3

Note que o numerador é x+2y+1. Fazemos a substituição
u = x + 2y + 1
Então
dudx = 1 + 2,dydx

Passo 4

Substituindo dfracdydx = dfracu2u+1 (pois 2x+4y+3=2(x+2y+1)+1=2u+1) na expressão de dfracdudx, obtemos
dudx =1 + 2cdotu2u+1 =(2u+1)+2u2u+1 =4u+12u+1
Isso é uma EDO separável em u e x.

Passo 5

Escrever em forma separável:
2u+14u+1,du = dx

Passo 6

Integramos os dois lados. Primeiro calculamos
integral 2u+14u+1,du
Fazendo divisão:
2u+14u+1 =12 + 12(4u+1),
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integral 2u+14u+1,du =integrall(tfrac12 + tfrac12(4u+1)r)du =u2 + 18lnl|4u+1r| + C
Portanto a equação integrada fica
u2 + 18lnl|4u+1r| = x + C

Passo 7

Voltamos a x,y usando u=x+2y+1:
x+2y+12 + 18lnl|4x+8y+5r| = x + C
Multiplicando por 8 e rearranjando, obtemos a forma implícita da solução geral:
lnl|4x+8y+5r| ;+;8y ;-;4x = C'

Resposta

lnl|4x+8y+5r| + 8y - 4x = C

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