Determine a solução geral das edos Homogêneas:
3 x+5 y+(4 x+6 y) d yd x=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea
3x + 5y + (4x + 6y)dydx = 0
Esse tipo de EDO tem os termos 3x+5y e 4x+6y ambos homogêneos de grau 1. Para resolver, vamos usar a substituição
y = v x,
que transforma a EDO num separável em v e x.

Passo 2

Primeiro isole dydx:
(4x+6y)dydx = -,l(3x+5yr) Longrightarrow dydx = -,3x+5y4x+6y

Passo 3

Use y=vx, então dydx = v + xdvdx. Substituindo:
v + xdvdx = -,3x + 5(vx)4x + 6(vx) = -,3 + 5v4 + 6v
Isolando dvdx:
xdvdx = -3 + 5v4 + 6v - v = -3 + 5v + v(4 + 6v)4 + 6v = -3 + 5v + 4v + 6v^24 + 6v = -3 + 9v + 6v^24 + 6v
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dvdx = -,3(2v^2 + 3v + 1)x,(4 + 6v) = -,3(2v+1)(v+1)2x(2+3v)

Passo 4

Separe variáveis:
4+6v(2v+1)(v+1),dv = -,3,dxx
Observando que 4+6v(2v+1)(v+1) = 22v+1 + 2v+1, integramos:
integrall(22v+1 + 2v+1r)dv = integral -3,dxx

Passo 5

Calcule as integrais:
integral22v+1dv = lnlvert2v+1rvert, integral2v+1dv = 2lnlvert v+1rvert, integral -3,dxx = -3lnlvert xrvert + C
Somando,
lnllvert2v+1rrvert + 2lnllvert v+1rrvert = -3lnlvert xrvert + C
Exponenciando,
lvert(2v+1)(v+1)^2rvert = C',x^-3

Passo 6

Volte a variável y com v = y/x. Temos
(2v+1)(v+1)^2 = 2y+xx;l(y+xxr)^!2 = (2y+x)(y+x)^2x^3 = C',x^-3
Multiplicando ambos os lados por x^3, a solução geral implícita é
(2y + x),(y + x)^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

(2y + x),(y + x)^2 = C

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