Seja I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função. Dado a in I, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) ) como sendo a (única) reta que passa pelo ponto ( a, f(a) ) e tem inclinação igual a
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h=lim x a f(x)-f(a)x-a,quando o limite existe.
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) no ponto a indicado e, em seguida, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a, f(a) ):
f(x)=x^2, a=-1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2
e pede, no ponto a=-1:
– a inclinação da reta tangente, que é f'(a);
– a equação da reta tangente em l(a,f(a)r).
Para isso vamos usar a definição de derivada pelo limite e, em seguida, a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calculamos a derivada em a pela definição
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h=limhto0(a+h)^2-a^2h
Note que
(a+h)^2-a^2=a^2+2ah+h^2-a^2=2ah+h^2,
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f'(a)=limhto02ah+h^2h=limhto0(2a+h)=2a
Portanto, para a=-1:
f'(-1)=2cdot(-1)=-2

Passo 3

A equação da reta tangente em l(a,f(a)r) usa a forma ponto-inclinação
y - f(a) = f'(a),(x - a)
Como f(-1)=(-1)^2=1 e f'(-1)=-2, temos
y-1 = -2,(x+1)
Simplificando,
y = -2x -2 +1 = -2x -1

Resposta

A inclinação é f'(-1)=-2 e a reta tangente é
y = -2x -1

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