(Cálculo de limites de formas indeterminadas - 2,0 pontos) Ache o limite usando a regra de IHópital.
lim x 0(1+a x)^2 / x ; a neq 0

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto0(1+ax)^2/x. Esse tipo de limite apresenta a forma indeterminada 1^infty, então a estratégia será usar logaritmo e depois a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos L=limxto0(1+ax)^2/x e aplicamos logaritmo para transformar a potência em produto. Assim, temos
ln L=limxto0 2xln(1+ax)
Observamos que o limite de ln L está na forma 0/0, pois ln(1+ax)to0 quando xto0 e o denominador xto0. Podemos, então, usar a regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a x.

Passo 3

Derivando, o numerador 2ln(1+ax) torna-se 2cdota1+ax e o denominador x torna-se 1. Logo,
ln L=limxto0 2a1+ax=2a
Como ln L=2a, basta usar a função exponencial para voltar à variável original: L=e^ln L=e^2a

Resposta

e^{2a}

Exercícios relacionados