Questão 3
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Usando coordenadas polares calcule
integral duplaR x y d A
onde R é a região que está no primeiro quadrante e entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.
a) 10
b) 658
c) -658
d) 0
e) -10

Passo 1

O enunciado pede a avaliação da integral dupla
integral duplaR x,y,dA
onde R é a região no primeiro quadrante limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.
Conteúdo: mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais duplas.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Como estamos no primeiro quadrante entre os círculos de raios 1 e 3, os limites são
1 <= r <= 3, 0 <= theta <= pi2

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando x,y vira
rcostheta cdot rsintheta = r^2costhetasintheta,
e com o jacobiano temos
x,y,dA = r^2costhetasintheta cdot r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta
Logo a integral é
integral0^pi/2!integral1^3 r^3costhetasintheta ,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a parte radial:
integral1^3 r^3,dr = [r^44]1^3 = 3^4-1^44 = 81-14 = 804 = 20

Passo 5

Agora a parte angular:
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = 12integral0^pi/2sin(2theta),dtheta = 12[-cos(2theta)2]0^pi/2 = 12cdot1-(-1)2 = 12cdot1 = 12

Passo 6

Multiplicando os resultados de r e theta, obtemos
20 times 12 = 10
Como o valor é positivo e coincide com a alternativa (a), essa é a resposta correta.

Resposta

(a) 10

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