Exemplo 2.5.11 Determine todos os números nos quais a função
é contínua.
Solução: Para
, temos que
, por isto,
é um polinômio e, consequentemente,
é contínua para todo
. Para
, temos que
e , analogamente,
é contínua para todo
.
, não é possível tirar uma conclusão diretamente. Logo, é preciso usar a definição de continuidade. Temos que:
-
;
-
e
.
Dessa forma, temos que
. Portanto, a função
não é contínua em
e , consequentemente
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções polinomiais (que são contínuas em todo lugar) e o estudo de continuidade num ponto de transição
usando limites laterais.
Passo 2
Para
, a regra é
. Como
é um polinômio, ele é contínuo em todo
. Logo, não há problema de continuidade em nenhum ponto de
.
Para , a regra é
. Como
também é um polinômio, ele é contínuo em todo
. Assim, não há problema de continuidade em nenhum ponto de
.
Para
Passo 3
Falta analisar o ponto
. Pela definição,
é contínua em
se e somente se
Primeiro, o valor da função em
é
Em seguida calculamos os limites laterais:
Passo 4
Como
os limites laterais não coincidem. Logo
não existe e não se iguala a
. Portanto
é descontínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os
exceto em
. Em outras palavras, o conjunto de continuidade é