Exemplo 2.5.11 Determine todos os números nos quais a função f(x)=c2 x-3, se x <= 1 x^2, se x>1 é contínua.
Solução: Para x<1, temos que f(x)=2 x-3 e, por isto, f é um polinômio e, consequentemente, f é contínua para todo x in R. Para x>1, temos que f(x)=x^2 e , analogamente, f é contínua para todo x in R. Em x=1, não é possível tirar uma conclusão diretamente. Logo, é preciso usar a definição de continuidade. Temos que:
  • f(1)=-1;
  • lim x 1^+ f(x)=lim x 1^+(x^2)=1 e lim x 1^- f(x)=lim x 1^-(2 x-3)=-1.
Dessa forma, temos que lim x 1 f(x) nexists. Portanto, a função f não é contínua em x=1 e , consequentemente f é contínua em C=x in R ; x neq 1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos em que a função
f(x)= 2x-3, & se x<=1, x^2, & se x>1
é contínua. O conteúdo envolve continuidade de funções polinomiais (que são contínuas em todo lugar) e o estudo de continuidade num ponto de transição x=1 usando limites laterais.

Passo 2

Para x<1, a regra é f(x)=2x-3. Como 2x-3 é um polinômio, ele é contínuo em todo R. Logo, não há problema de continuidade em nenhum ponto de (-infty,1).
Para x>1, a regra é f(x)=x^2. Como x^2 também é um polinômio, ele é contínuo em todo R. Assim, não há problema de continuidade em nenhum ponto de (1,infty).

Passo 3

Falta analisar o ponto x=1. Pela definição, f é contínua em 1 se e somente se
limxto1f(x)=f(1)
Primeiro, o valor da função em 1 é
f(1)=2cdot1-3=-1
Em seguida calculamos os limites laterais:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(2x-3) =2cdot1-3=-1,
limxto1^+f(x) =limxto1^+(x^2) =1^2=1

Passo 4

Como
limxto1^-f(x)=-1 e limxto1^+f(x)=1,
os limites laterais não coincidem. Logo limxto1f(x) não existe e não se iguala a f(1). Portanto f é descontínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todos os xinR exceto em x=1. Em outras palavras, o conjunto de continuidade é
xinRmid xneq1

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