Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s exatas.
ly^prime=y-x+1-x+y+3 y(1)=0

Passo 1

Estamos lidando com o PVI
dfracdydx=dfracy - x + 1,y - x + 3,,[0.5em] y(1)=0,
que pode ser escrito como uma EDO exata. A ideia é pôr na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
verificar a exatidão partial M/partial y=partial N/partial x e encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.]

Passo 2

Reescrevendo
dydx=y - x + 1y - x + 3 ;Longrightarrow; (y - x + 3),dy - (y - x + 1),dx = 0
Logo escolhemos
M(x,y) = -(y - x + 1) = x - y - 1, N(x,y) = y - x + 3
Verificamos
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = -1,
de modo que a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) com
Fx = M = x - y - 1, Fy = N = y - x + 3
Integrando Fx em relação a x:
F(x,y) = integral (x - y - 1),dx = x^22 - x y - x + h(y)
Diferenciando em y:
Fy = -x + h'(y)stackrel!=y - x + 3 ;Longrightarrow; h'(y)=y+3 ;Longrightarrow; h(y)=y^22+3y + C
Portanto
F(x,y)=x^22-x y -x + y^22+3y

Passo 4

A solução geral implícita é
F(x,y)=C
Para a condição inicial y(1)=0:
F(1,0)=12-0-1+0+0=-12=C
Fica então
x^22-x y -x + y^22+3y = -12

Passo 5

Para isolar y, multiplico tudo por 2 e reorganizo como quadrática em y:
x^2 + y^2 -2xy -2x +6y +1=0 ;Long<=ftrightarrow; y^2 + (6-2x)y + (x-1)^2 =0
O discriminante é
De<a=(6-2x)^2-4(x-1)^2=16(2-x)
Assim
y=2x-6pm4raiz2-x2 = x-3pm2raiz2-x
Como y(1)=0, escolhemos o sinal +, obtendo
y = x - 3 + 2raiz2 - x, x<=2

Resposta

y = x - 3 + 2raiz2 - x

Exercícios relacionados