Resolva os PVI’s sabendo que são EDO’s exatas.
l(y cos x+2 x e^y) d x+(sen x+x^2 e^y-1) d y=0 y(0)=pi

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
l(ycos x+2x e^yr),dx+l(sin x+x^2e^y-1r),dy=0,
com condição inicial y(0)=pi.
O conteúdo da matéria é EDO exata: precisamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial Phi(x,y) tal que
Phix = ycos x+2x e^y, Phiy = sin x+x^2e^y-1,
e então impor Phi(x,y)=constante.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão calculando as derivadas parciais
partialpartial yl(ycos x+2x e^yr) =cos x+2x e^y,
partialpartial xl(sin x+x^2e^y-1r) =cos x+2x e^y
Como são iguais, a EDO é exata.

Passo 3

Construímos Phi(x,y) integrando M(x,y)=ycos x+2x e^y em relação a x:
Phi(x,y) =integrall(ycos x+2x e^yr),dx =ysin x + x^2e^y + g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 4

Diferenciamos Phi em relação a y e igualamos a N(x,y):
Phiy =sin x + x^2e^y + g'(y) stackrel!=sin x + x^2e^y -1
logo g'(y)=-1 e g(y)=-y. Assim
Phi(x,y)=ysin x + x^2e^y -y

Passo 5

A solução geral implícita é
ysin x + x^2e^y - y = C
Para x=0, y(0)=pi temos
pisin0 + 0 - pi = -pi = C
Logo a solução do PVI é
ysin x + x^2e^y - y = -pi

Resposta

ysin x + x^2e^y - y = -pi

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