(Cálculo de limites de formas indeterminadas - 2,0 pontos) Ache o limite usando a regra de IHópital.
lim x 0 10^x-e^xx

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto010^x-e^xx usando a regra de l’Hôpital. O conteúdo envolvido é limite de funções na forma indeterminada 0/0, e vamos precisar derivar numerador e denominador para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma da indeterminação. Ao substituir x=0 no numerador, temos 10^0-e^0=1-1=0 e no denominador x=0 também dá 0. Logo, é uma forma 0/0, o que justifica o uso da regra de l’Hôpital.

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador separadamente. A derivada de 10^x é 10^xln(10) e a de e^x é e^x. A derivada de x no denominador é 1. O limite passa a ser
limxto010^xln(10)-e^x1

Passo 4

Por fim, basta avaliar em x=0: temos 10^0ln(10)-e^0=1cdotln(10)-1=ln(10)-1. Portanto, o limite é ln(10)-1.

Resposta

ln(10)-1

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