Exemplo 2.5.14 Determine o maior conjunto de números reais no qual a função f(x)=raiz25-x^2x-3 seja contínua.
Solução: Seja f1(x)=raiz25-x^2. Então, f1 é contínua em todo x in R ; x^2 <= 25, ou seja, f1 é contínua em [-5,5]. Por outro lado, se f2(x)=x-3, então, f2 é contínua em R, visto que f2 é um polinômio. Assim, como f(x)=f1(x)f2(x) e f2(x) neq 0 (se x neq 3 ), seque que f é contínua em [-5,5] se x neq 3. Em outras palavras, f é contínua em C=[-5,3) cup(3,5].

Passo 1

O enunciado pede o maior subconjunto de R em que
f(x) = raiz25 - x^2x - 3
é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções elementares (raiz quadrada e polinômio) e de quociente de funções contínuas.

Passo 2

Analisamos primeiro a função
f1(x) = raiz25 - x^2
Para que f1 esteja definida, é preciso ter
25 - x^2 >= 0 Long<=ftrightarrow -5 <= x <= 5
Nesse intervalo raizcdot e a expressão interna são contínuas, logo f1 é contínua em [-5,5].

Passo 3

A segunda função é
f2(x) = x - 3,
que é um polinômio e portanto contínua em todo R. Porém, como f faz f1/f2, exigimos também f2(x)neq 0, ou seja x neq 3.

Passo 4

Como quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não zera, concluímos que f é contínua em todos os pontos de [-5,5] exceto x=3. Logo o maior conjunto de continuidade é
[-5,3);cup;(3,5]

Resposta

[-5,3)cup(3,5]

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