Exemplo 2.5.14 Determine o maior conjunto de números reais no qual a função
seja contínua.
Solução: Seja
. Então,
é contínua em todo
, ou seja,
é contínua em
. Por outro lado, se
, então,
é contínua em
, visto que
é um polinômio. Assim, como
e
(se
), seque que
é contínua em
se
. Em outras palavras,
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede o maior subconjunto de
em que
é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de funções elementares (raiz quadrada e polinômio) e de quociente de funções contínuas.
Passo 2
Analisamos primeiro a função
Para que
esteja definida, é preciso ter
Nesse intervalo
e a expressão interna são contínuas, logo
é contínua em
.
Passo 3
A segunda função é
que é um polinômio e portanto contínua em todo
. Porém, como
faz
, exigimos também
, ou seja
.
Passo 4
Como quociente de duas funções contínuas é contínuo sempre que o denominador não zera, concluímos que
é contínua em todos os pontos de
exceto
. Logo o maior conjunto de continuidade é