Questão 4
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Usando coordenadas polares calcule a área da elipse:
x^2+y^2-4 y=0.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado pede para usar coordenadas polares e calcular a área da curva dada por
x^2+y^2-4y=0
Aqui o conteúdo é área em coordenadas polares, que usa a fórmula
A=tfrac12integraltheta1^theta2r(theta)^2,dtheta

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares, com
x=rcostheta, y=rsintheta
Substituindo em x^2+y^2-4y=0 vem
r^2-4(rsintheta)=0

Passo 3

Da equação polar
r^2-4rsintheta=0
temos r=0 (origem) ou
r=4sintheta
O ramo relevante é r(theta)=4sintheta, que descreve a curva dada.

Passo 4

Para cobrir toda a curva r=4sintheta com r>=0, usamos theta de 0 a pi, pois sintheta>=0 nesse intervalo. Assim a área é
A=tfrac12integral0^pil(4sinthetar)^2dtheta =tfrac12cdot16integral0^pisin^2theta,dtheta

Passo 5

Calculando a integral, lembrando que integral0^pisin^2theta,dtheta=tfracpi2, obtemos
A=8cdottfracpi2=4pi

Resposta

4pi

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