Resolva os problemas de valor inicial dados.
,
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com condição
. Aqui vamos reconhecer uma equação diferencial exata e usar a função potencial para obter a solução implícita, depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Denotemos
Verificamos a exatidão conferindo
e
:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
, e
Portanto
Passo 5
A solução geral é
. Para a condição
:
logo
. A solução implícita final é