Resolva os problemas de valor inicial dados.
(y^2 cos x-3 x^2 y-2 x) d x+(2 y sen x-x^3+ln y) d y=0, y(0)=e

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
l(y^2cos x-3x^2y-2xr),dx+l(2ysin x-x^3+ln yr),dy=0,
com condição y(0)=e. Aqui vamos reconhecer uma equação diferencial exata e usar a função potencial para obter a solução implícita, depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Denotemos
M(x,y)=y^2cos x-3x^2y-2x, N(x,y)=2ysin x-x^3+ln y
Verificamos a exatidão conferindo partial M/partial y e partial N/partial x:
partial Mpartial y =2ycos x-3x^2, partial Npartial x =2ycos x-3x^2
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M e partial Phipartial y=N
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y) =integrall(y^2cos x-3x^2y-2xr),dx =y^2sin x -y x^3-x^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos Phi em relação a y e igualamos a N:
partial Phipartial y =2ysin x -x^3+h'(y) = 2ysin x -x^3+ln y
Logo h'(y)=ln y, e
h(y)=integralln y,dy =yln y-y
Portanto
Phi(x,y) =y^2sin x -x^3y -x^2+yln y -y

Passo 5

A solução geral é Phi(x,y)=C. Para a condição y(0)=e:
Phi(0,e)=e^2sin0-0-e^2+eln e-e =0-0 +e -e=0,
logo C=0. A solução implícita final é
y^2sin x -x^3y -x^2+yln y -y=0

Resposta

y^2sin x -x^3y -x^2+yln y -y=0

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