(Cálculo de limites de formas indeterminadas - 2,0 pontos) Ache o limite usando a regra de IHópital.
lim theta 0^+(Theta-Sen Thetatg^4 Theta)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limthetato0^+theta - sinthetatan^4theta
usando a regra de L’Hôpital. Percebemos que, ao substituir theta=0, o numerador e o denominador ficam 0, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Por isso podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz para derivar numerador e denominador até obtermos uma forma que dê para avaliar.

Passo 2

Verificamos a indeterminação no limite original:
theta - sentheta xrightarrowthetato00, tg^4theta xrightarrowthetato00,
logo é caso de 0/0, e podemos derivar.

Passo 3

Derivando numerador e denominador uma vez, obtemos
ddthetal(theta - sinthetar)=1-costheta, ddthetal(tan^4thetar)=4,tan^3thetacdotsec^2theta
Pelo teorema de L’Hôpital,
limthetato0^+theta - sinthetatan^4theta = limthetato0^+1-costheta4,tan^3theta,sec^2theta

Passo 4

Ao tentar thetato0 nessa nova forma vemos
1-costhetato0, 4,tan^3theta,sec^2thetato0,
ficamos de novo com 0/0. Então aplicamos L’Hôpital pela segunda vez. Derivando,
ddtheta(1-costheta)=sintheta,
ddthetal(4,tan^3theta,sec^2thetar) =4l(3tan^2theta,sec^4theta +2tan^4theta,sec^2thetar)
Isso nos dá
limthetato0^+1-costheta4tan^3theta,sec^2theta =limthetato0^+sintheta12,tan^2theta,sec^4theta +8,tan^4theta,sec^2theta

Passo 5

Para theta pequeno vale as equivalências assintóticas
senthetasimtheta, tgthetasimtheta e secthetasim1. Assim,
sentheta 12,tg^2theta,sec^4theta +8,tg^4theta,sec^2theta sim theta12,theta^2+8,theta^4 = 112,theta+8,theta^3 ;xrightarrowthetato0^+;+infty
Logo, esse limite (e portanto o original) diverge para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

Exercícios relacionados