(Cálculo de limites - 2,0 pontos) Ache o limite.
lim theta 0 cosec(3 theta)cotg(4 theta)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limthetato0cosec(3theta)cotg(4theta)
que envolve funções trigonométricas. Vamos usar as identidades
cosec x = 1/sin x e cotg x = cos x/sin x
e o limite notável
limxto0sin xx=1.

Passo 2

Usando as identidades, escrevemos
cosec(3theta)cotg(4theta) =1sin(3theta)cos(4theta)sin(4theta) =sin(4theta)sin(3theta),cos(4theta)

Passo 3

Para aplicar o limite notável, introduzimos fatores theta:
sin(4theta)sin(3theta)cos(4theta) =sin(4theta)4theta;cdot;3thetasin(3theta);cdot;43;cdot;1cos(4theta)

Passo 4

Agora thetato0:
  • sin(4theta)/(4theta)to1
  • 3theta/sin(3theta)to1
  • cos(4theta)to1
    Logo o produto tende a
1cdot1cdot43cdot1=43

Resposta

43

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