Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função
, sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionário do escritório pediram que a temperatura máxima fosse
, a mínima
, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã.
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a temperatura em um escritório muda ao longo do dia, e precisamos ajustar certos parâmetros para que a temperatura fique dentro dos limites pedidos pelos funcionários. O assunto aqui envolve funções trigonométricas, especificamente a função seno, e conceitos de amplitude e média de uma função periódica. Vamos precisar entender como a função
se comporta para encontrar os valores de
e
que atendem às condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma função do tipo
:
-
representa a temperatura média ao longo do tempo. -
representa a amplitude da variação da temperatura, ou seja, o quanto a temperatura sobe ou desce em relação à média. - O seno varia entre -1 e 1, então a temperatura máxima será
e a mínima será .
Passo 3
Os funcionários pediram que a temperatura máxima fosse 26°C e a mínima 18°C. Vamos usar essas informações para montar duas equações:
- Temperatura máxima:
- Temperatura mínima:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, somamos as duas equações:
Passo 5
Com
, vamos substituir em uma das equações para encontrar
. Vamos usar a primeira:
Então,
pode ser 4 ou -4.
Passo 6
Agora, precisamos decidir se
é positivo ou negativo. A função é:
Queremos que durante a tarde (após o meio-dia,
) a temperatura seja menor do que pela manhã (
). Vamos analisar:
- Se
, quando , o seno aumenta, fazendo a temperatura aumentar pela tarde, o que não atende ao pedido. - Se
, quando , o seno aumenta, mas como está multiplicado por -4, a temperatura diminui, deixando mais frio à tarde, como os funcionários querem.