Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função T(h), sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionário do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26^circ C, a mínima 18^circ C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã.
T(h)=A+B sen(pi12(h-12))
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?
A=18 e B=8
A=22 e B=-4
A=22 e B=4
A=26 e B=-8
A=26 e B=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a temperatura em um escritório muda ao longo do dia, e precisamos ajustar certos parâmetros para que a temperatura fique dentro dos limites pedidos pelos funcionários. O assunto aqui envolve funções trigonométricas, especificamente a função seno, e conceitos de amplitude e média de uma função periódica. Vamos precisar entender como a função T(h) = A + B sin(pi12(h - 12)) se comporta para encontrar os valores de A e B que atendem às condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma função do tipo T(h) = A + B sin(theta) :
  • A representa a temperatura média ao longo do tempo.
  • B representa a amplitude da variação da temperatura, ou seja, o quanto a temperatura sobe ou desce em relação à média.
  • O seno varia entre -1 e 1, então a temperatura máxima será A + |B| e a mínima será A - |B| .

Passo 3

Os funcionários pediram que a temperatura máxima fosse 26°C e a mínima 18°C. Vamos usar essas informações para montar duas equações:
  1. Temperatura máxima:
A + |B| = 26
  1. Temperatura mínima:
A - |B| = 18

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar A e B .
Primeiro, somamos as duas equações:
(A + |B|) + (A - |B|) = 26 + 18 2A = 44 A = 22

Passo 5

Com A = 22 , vamos substituir em uma das equações para encontrar |B| . Vamos usar a primeira:
22 + |B| = 26 |B| = 4
Então, B pode ser 4 ou -4.

Passo 6

Agora, precisamos decidir se B é positivo ou negativo. A função é:
T(h) = 22 + B sin(pi12(h - 12))
Queremos que durante a tarde (após o meio-dia, h > 12 ) a temperatura seja menor do que pela manhã ( h < 12 ). Vamos analisar:
  • Se B = 4 , quando h > 12 , o seno aumenta, fazendo a temperatura aumentar pela tarde, o que não atende ao pedido.
  • Se B = -4 , quando h > 12 , o seno aumenta, mas como está multiplicado por -4, a temperatura diminui, deixando mais frio à tarde, como os funcionários querem.

Resposta

A=22 e B=-4

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