(Cálculo de limites - 2,0 pontos) calcule os limites trigonométricos usando os teoremas pertinentes.
lim x 0 5 tg^3(3 x)x^3

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0 5 tan^3(3x)x^3. Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar alguns teoremas e propriedades dos limites envolvendo a função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental em trigonometria: limx to 0 tan(x)x = 1. Isso significa que, perto de zero, tan(x) se comporta muito parecido com x.

Passo 3

No nosso caso, temos tan(3x) em vez de tan(x). Vamos ajustar o limite básico para tan(3x). Sabemos que:
limx to 0 tan(3x)3x = 1
Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos:
limx to 0 tan(3x)x = 3

Passo 4

Agora, como temos tan^3(3x), podemos reescrever o limite original usando a propriedade de potências dos limites:
limx to 0 5 tan^3(3x)x^3 = 5 ( limx to 0 tan(3x)x )^3

Passo 5

Substituindo o valor que encontramos no Passo 3:
5 ( 3 )^3 = 5 times 27 = 135

Resposta

O limite é 135.

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