O número de diagonais de um polígono é o dobro do seu número n de lados. O valor de n é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8

Passo 1

O enunciado diz que um polígono tem um número de diagonais igual ao dobro do seu número n de lados.
Informações dadas:
  • O número de lados do polígono é \,n\, (valor desconhecido).
  • O número de diagonais é igual a 2n.
    Pergunta: Determine o valor de n.

Passo 2

Vamos entender o que é uma diagonal e como contar as diagonais em função de n.
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não adjacentes do polígono. Para contar todas as diagonais podemos usar dois raciocínios equivalentes:
Raciocínio 1 — contagem por pares de vértices: o número de segmentos que ligam quaisquer dois vértices é o número de pares dos n vértices, que é
\frac{n(n-1)}{2}.
Desses segmentos, n são os lados do polígono (um lado para cada par de vértices adjacentes). Portanto o número de diagonais é
\frac{n(n-1)}{2} - n.
Raciocínio 2 — contagem por vértice: de cada vértice podemos traçar segmentos para os outros n-1 vértices, mas dois desses são os vértices adjacentes (que formam lados) e um é o próprio vértice; assim de cada vértice surgem n-3 diagonais. Como cada diagonal é contada duas vezes (uma de cada extremidade), o total é
\frac{n(n-3)}{2}.
Ambos os raciocínios levam à mesma fórmula; portanto adotamos
\text{número de diagonais} = \frac{n(n-3)}{2}.ú

Passo 3

Agora usamos a informação do enunciado, que diz que o número de diagonais vale 2n. Portanto igualamos as expressões:
\frac{n(n-3)}{2} = 2n.
Para resolver essa equação, multiplico ambos os lados por 2:
n(n-3) = 4n.

Passo 4

Continuo resolvendo a equação: trago todos os termos para um lado:
n(n-3) - 4n = 0.
Fatorando n em evidência:
n\bigl((n-3)-4\bigr)=0
ou seja
n(n-7)=0.
As soluções algébricas são \,n=0\, ou \,n=7\,.

Passo 5

Devemos escolher a solução que faz sentido para um polígono. Um polígono tem pelo menos 3 lados, então descartamos \,n=0. Resta \,n=7\,.

Passo 6

Checo rapidamente: para \,n=7\, a fórmula dá
\frac{7(7-3)}{2}=\frac{7\cdot4}{2}=14,
e realmente 14 é o dobro de 7. Está tudo consistente. Força aí — esse tipo de exercício costuma cobrar exatamente essa fórmula; decora que o número de diagonais é \frac{n(n-3)}{2} e você resolve rápido na prova.

Resposta

c) 7

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