O número de diagonais de um polígono é o dobro do seu número n de lados. O valor de n é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
Passo 1
O enunciado diz que um polígono tem um número de diagonais igual ao dobro do seu número
de lados.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número de lados do polígono é
(valor desconhecido). - O número de diagonais é igual a
.
Pergunta: Determine o valor de.
Passo 2
Vamos entender o que é uma diagonal e como contar as diagonais em função de
.
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não adjacentes do polígono. Para contar todas as diagonais podemos usar dois raciocínios equivalentes:
Uma diagonal é um segmento que liga dois vértices não adjacentes do polígono. Para contar todas as diagonais podemos usar dois raciocínios equivalentes:
Raciocínio 1 — contagem por pares de vértices: o número de segmentos que ligam quaisquer dois vértices é o número de pares dos
vértices, que é
Desses segmentos,
são os lados do polígono (um lado para cada par de vértices adjacentes). Portanto o número de diagonais é
Raciocínio 2 — contagem por vértice: de cada vértice podemos traçar segmentos para os outros
vértices, mas dois desses são os vértices adjacentes (que formam lados) e um é o próprio vértice; assim de cada vértice surgem
diagonais. Como cada diagonal é contada duas vezes (uma de cada extremidade), o total é
Ambos os raciocínios levam à mesma fórmula; portanto adotamos
Passo 3
Agora usamos a informação do enunciado, que diz que o número de diagonais vale
. Portanto igualamos as expressões:
Para resolver essa equação, multiplico ambos os lados por
:
Passo 4
Continuo resolvendo a equação: trago todos os termos para um lado:
Fatorando
em evidência:
ou seja
As soluções algébricas são
ou
.
Passo 5
Devemos escolher a solução que faz sentido para um polígono. Um polígono tem pelo menos
lados, então descartamos
. Resta
.
Passo 6
Checo rapidamente: para
a fórmula dá
e realmente
é o dobro de
. Está tudo consistente. Força aí — esse tipo de exercício costuma cobrar exatamente essa fórmula; decora que o número de diagonais é
e você resolve rápido na prova.
Resposta
c)