ache , determine onde é contínua e ache , e ache .

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
bar F(t) = (1+t)^2,bar i ;+;cos t,bar j;+;ln(1-t),bar k
e pede:
  1. limtto t0bar F(t) com t0=0.
  2. Onde bar F é contínua.
  3. bar F'(t0).
  4. bar F''(t0).
    Para isso vamos usar limite e continuidade de funções reais em cada componente, e derivação componente a componente.

Passo 2

Para achar
limtto0bar F(t)
basta notar que cada componente é contínua em t=0 (já que 1-0>0). Logo
limtto0(1+t)^2 = 1^2 = 1, limtto0cos t = cos0 = 1, limtto0ln(1-t) = ln1 = 0
Portanto
limtto0bar F(t) = 1,bar i + 1,bar j + 0,bar k

Passo 3

Cada componente de bar F é composta por funções elementares contínuas em seu domínio:
,(1+t)^2 e cos t são contínuas em R, e ln(1-t) exige 1-t>0, ou seja t<1.
Logo
bar F é contínua em (-infty,1) éí

Passo 4

Derivando componente a componente obtemos
bar F'(t) = 2(1+t),bar i ;-;sin t,bar j ;-;11-t,bar k
Avaliando em t0=0
bar F'(0) = 2cdot1,bar i ;-;0,bar j ;-;11,bar k = 2,bar i ;-;bar k

Passo 5

Derivando mais uma vez cada componente de bar F'(t):
bar F''(t) = 2,bar i ;-;cos t,bar j ;-;l(11-tr)' bar k
Como
ddtl(11-tr) = 1(1-t)^2,
leva a
bar F''(t) = 2,bar i ;-;cos t,bar j ;-;1(1-t)^2,bar k
Em t=0 isso vale
bar F''(0) = 2,bar i ;-;1,bar j ;-;1,bar k

Resposta

limtto0bar F(t)=1,bar i+1,bar j+0,bar k
bar F é contínua em (-infty,1).
bar F'(0)=2,bar i-bar k
bar F''(0)=2,bar i-bar j-bar k

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