(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
Ex x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}=6
Ex x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}=6
Passo 1
O enunciado pede para estudar a superfície dada pela equação
e realizar as seguintes tarefas sobre quadricas:
(a) encontrar as interseções com os eixos coordenados,
(b) discutir simetria,
(c) descrever as seções meridionais obtidas por planos perpendiculares aos eixos,
(d) determinar os traços (interseções com planos coordenados),
(e) identificar o tipo de superfície quádrupla,
(f) esboçar o gráfico.
(a) encontrar as interseções com os eixos coordenados,
(b) discutir simetria,
(c) descrever as seções meridionais obtidas por planos perpendiculares aos eixos,
(d) determinar os traços (interseções com planos coordenados),
(e) identificar o tipo de superfície quádrupla,
(f) esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar as interseções com cada eixo, basta anular as outras duas variáveis e resolver:
- No eixo :
,
dá
- No eixo
- No eixo
:
,
dá
- No eixo
:
,
dá
Passo 3
A equação só envolve quadrados de
,
,
e não muda se trocarmos sinal de qualquer variável. Logo, há simetria em relação a todos os planos coordenados
,
,
e também simetria central no ponto
.
Passo 4
Seções meridionais por planos perpendiculares aos eixos (isto é, planos
,
,
):
- Plano (paralelo a
):
- Plano
uma elipse válida para
.
- Plano :
- Plano
uma elipse válida para
.
- Plano :
- Plano
uma elipse válida para
.
Passo 5
Traços, ou seja, interseções com os planos coordenados:
- Plano (
):
- Plano
elipse com semieixos
em
e
em
.
- Plano (
):
- Plano
semieixos
em
e
em
.
- Plano (
):
- Plano
semieixos
em
e
em
.
Passo 6
Comparando com a forma geral
vemos que
Portanto a superfície é um elipsoide centrado na origem.
Passo 7
Esboço do elipsoide:
— Centro em .
— Interceptações nos eixos: ,
,
.
— Forma achatada mais em e intermediária em
.
— Centro em
— Interceptações nos eixos:
— Forma achatada mais em
Resposta
(a) Eixos:
,
,
.
(b) Simetria em relação aos planos ,
,
e simetria central na origem.
(c) Seções por :
; por
:
; por
:
.
(d) Traços: em elipse
; em
elipse
; em
elipse
.
(e) É um elipsoide centrado na origem com semieixos ,
,
.
(f) Gráfico: elipsoide alinhado aos eixos, interceptando-os nos pontos dados acima.
(b) Simetria em relação aos planos
(c) Seções por
(d) Traços: em
(e) É um elipsoide centrado na origem com semieixos
(f) Gráfico: elipsoide alinhado aos eixos, interceptando-os nos pontos dados acima.