(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
Ex x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}=6

Passo 1

O enunciado pede para estudar a superfície dada pela equação
x^2 + 3y^2 + 2z^2 = 6
e realizar as seguintes tarefas sobre quadricas:
(a) encontrar as interseções com os eixos coordenados,
(b) discutir simetria,
(c) descrever as seções meridionais obtidas por planos perpendiculares aos eixos,
(d) determinar os traços (interseções com planos coordenados),
(e) identificar o tipo de superfície quádrupla,
(f) esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar as interseções com cada eixo, basta anular as outras duas variáveis e resolver:
- No eixo x: y=0, z=0
x^2=6Longrightarrow x=pmraiz6
- No eixo y: x=0, z=0
3y^2=6Longrightarrow y=pmraiz2
- No eixo z: x=0, y=0
2z^2=6Longrightarrow z=pmraiz3

Passo 3

A equação só envolve quadrados de x, y, z e não muda se trocarmos sinal de qualquer variável. Logo, há simetria em relação a todos os planos coordenados xy, xz, yz e também simetria central no ponto (0,0,0).

Passo 4

Seções meridionais por planos perpendiculares aos eixos (isto é, planos x=x0, y=y0, z=z0):
- Plano x=x0 (paralelo a yz):
3y^2+2z^2=6 - x0^2,
uma elipse válida para |x0|<=raiz6.
- Plano y=y0:
x^2+2z^2=6 - 3y0^2,
uma elipse válida para |y0|<=raiz2.
- Plano z=z0:
x^2+3y^2=6 - 2z0^2,
uma elipse válida para |z0|<=raiz3.

Passo 5

Traços, ou seja, interseções com os planos coordenados:
- Plano xy ( z=0):
x^2+3y^2=6,
elipse com semieixos raiz6 em x e raiz2 em y.
- Plano xz ( y=0):
x^2+2z^2=6,
semieixos raiz6 em x e raiz3 em z.
- Plano yz ( x=0):
3y^2+2z^2=6,
semieixos raiz2 em y e raiz3 em z.

Passo 6

Comparando com a forma geral
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1,
vemos que
a^2=6, b^2=2, c^2=3
Portanto a superfície é um elipsoide centrado na origem.

Passo 7

Esboço do elipsoide:
— Centro em (0,0,0).
— Interceptações nos eixos: (pmraiz6,0,0), (0,pmraiz2,0), (0,0,pmraiz3).
— Forma achatada mais em y e intermediária em z.

Resposta

(a) Eixos: x=pmraiz6, y=pmraiz2, z=pmraiz3.
(b) Simetria em relação aos planos xy, xz, yz e simetria central na origem.
(c) Seções por x=x0: 3y^2+2z^2=6-x0^2; por y=y0: x^2+2z^2=6-3y0^2; por z=z0: x^2+3y^2=6-2z0^2.
(d) Traços: em z=0 elipse x^2+3y^2=6; em y=0 elipse x^2+2z^2=6; em x=0 elipse 3y^2+2z^2=6.
(e) É um elipsoide centrado na origem com semieixos raiz6, raiz2, raiz3.
(f) Gráfico: elipsoide alinhado aos eixos, interceptando-os nos pontos dados acima.

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