(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
10 144 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}=144
10 144 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}=144
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria;
(c) seções meridionais (planos perpendiculares a cada eixo);
(d) traços (interseções com planos coordenados);
(e) identificação do tipo de quádrupla;
(f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de superfícies quádruplas (quadrics) por meio de seções planas.
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria;
(c) seções meridionais (planos perpendiculares a cada eixo);
(d) traços (interseções com planos coordenados);
(e) identificação do tipo de quádrupla;
(f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de superfícies quádruplas (quadrics) por meio de seções planas.
Passo 2
Para as interseções com cada eixo, anula-se as outras duas variáveis:
Em
e
(eixo
)
logo
.
Em
e
(eixo
)
logo
.
Em
e
(eixo
)
logo
.
Passo 3
Não há termos mistos nem lineares, apenas quadráticos em
,
e
. Portanto a equação é invariante por
ou seja, simétrica em relação aos planos coordenados
,
,
e também aos eixos.
Passo 4
As seções por planos paralelos aos planos coordenados são elipses (quando não vazias):
Para
(plano paralelo a
)
elipse se
, vazia caso contrário.
Para
(plano paralelo a
)
elipse se
.
Para
(plano paralelo a
)
elipse se
.
Passo 5
Os traços nos planos coordenados são casos especiais dessas seções:
Em
:
elipse com semi-eixos
(direção
) e
(direção
).
Em
:
elipse com semi-eixos
(direção
) e
(direção
).
Em
:
elipse com semi-eixos
(direção
) e
(direção
).
Passo 6
Dividindo a equação por
obtemos a forma padrão
que caracteriza um elipsoide centrado na origem.
Passo 7
No esboço, desenha-se um elipsoide centrado em
com semi-eixos de comprimento
ao longo de
,
ao longo de
e
ao longo de
.
Resposta
(a) Interseções:
,
,
.
(b) Simétrica em relação aos planos ,
,
e aos três eixos.
(c) Seções por :
;\quad por
:
;\quad por
:
(todas elipses quando não vazias).
(d) Traços em :
;\quad em
:
;\quad em
:
.
(e) É um elipsoide.
(f) Gráfico: elipsoide com semi-eixos (eixo
),
(eixo
) e
(eixo
).
(b) Simétrica em relação aos planos
(c) Seções por
(d) Traços em
(e) É um elipsoide.
(f) Gráfico: elipsoide com semi-eixos