(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
10 144 x^{2}+9 y^{2}+16 z^{2}=144

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla
144x^2 + 9y^2 + 16z^2 = 144
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria;
(c) seções meridionais (planos perpendiculares a cada eixo);
(d) traços (interseções com planos coordenados);
(e) identificação do tipo de quádrupla;
(f) esboço do gráfico.
O conteúdo é análise de superfícies quádruplas (quadrics) por meio de seções planas.

Passo 2

Para as interseções com cada eixo, anula-se as outras duas variáveis:
Em y=0 e z=0 (eixo x)
144x^2 = 144,
logo x = pm 1.
Em x=0 e z=0 (eixo y)
9y^2 = 144,
logo y = pm 4.
Em x=0 e y=0 (eixo z)
16z^2 = 144,
logo z = pm 3.

Passo 3

Não há termos mistos nem lineares, apenas quadráticos em x, y e z. Portanto a equação é invariante por
(x,y,z)mapsto(-x,y,z), (x,y,z)mapsto(x,-y,z), (x,y,z)mapsto(x,y,-z),
ou seja, simétrica em relação aos planos coordenados xy, yz, xz e também aos eixos.

Passo 4

As seções por planos paralelos aos planos coordenados são elipses (quando não vazias):
Para x = x0 (plano paralelo a yz)
9y^2 + 16z^2 = 144 - 144x0^2,
elipse se lvert x0rvert<=1, vazia caso contrário.
Para y = y0 (plano paralelo a xz)
144x^2 + 16z^2 = 144 - 9y0^2,
elipse se lvert y0rvert<=4.
Para z = z0 (plano paralelo a xy)
144x^2 + 9y^2 = 144 - 16z0^2,
elipse se lvert z0rvert<=3.

Passo 5

Os traços nos planos coordenados são casos especiais dessas seções:
Em x=0:
9y^2 + 16z^2 = 144,
elipse com semi-eixos 4 (direção y) e 3 (direção z).
Em y=0:
144x^2 + 16z^2 = 144,
elipse com semi-eixos 1 (direção x) e 3 (direção z).
Em z=0:
144x^2 + 9y^2 = 144,
elipse com semi-eixos 1 (direção x) e 4 (direção y).

Passo 6

Dividindo a equação por 144 obtemos a forma padrão
x^21 + y^216 + z^29 = 1,
que caracteriza um elipsoide centrado na origem.

Passo 7

No esboço, desenha-se um elipsoide centrado em (0,0,0) com semi-eixos de comprimento 1 ao longo de x, 4 ao longo de y e 3 ao longo de z.

Resposta

(a) Interseções: (pm 1,0,0), (0,pm 4,0), (0,0,pm 3).
(b) Simétrica em relação aos planos xy, yz, xz e aos três eixos.
(c) Seções por x=x0: 9y^2+16z^2=144-144x0^2;\quad por y=y0: 144x^2+16z^2=144-9y0^2;\quad por z=z0: 144x^2+9y^2=144-16z0^2 (todas elipses quando não vazias).
(d) Traços em x=0: 9y^2+16z^2=144;\quad em y=0: 144x^2+16z^2=144;\quad em z=0: 144x^2+9y^2=144.
(e) É um elipsoide.
(f) Gráfico: elipsoide com semi-eixos 1 (eixo x), 4 (eixo y) e 3 (eixo z).

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