(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
23 3 x{2}=y+z{2}
23 3 x{2}=y+z{2}
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a superfície dada por
O que faremos:
– (a) achar as interseções com os eixos coordenados,
– (b) discutir simetrias,
– (c) encontrar as seções meridionais por planos perpendiculares aos eixos ,
,
,
– (d) achar os traços naqueles planos coordenados,
– (e) reconhecer que tipo de superfície quádrica é,
– (f) esboçar o gráfico (forma de sela).
– (a) achar as interseções com os eixos coordenados,
– (b) discutir simetrias,
– (c) encontrar as seções meridionais por planos perpendiculares aos eixos
– (d) achar os traços naqueles planos coordenados,
– (e) reconhecer que tipo de superfície quádrica é,
– (f) esboçar o gráfico (forma de sela).
Passo 2
(a) Interseções com os eixos:
– Eixo :
.
– Eixo :
.
– Eixo :
.
Logo, todos os três eixos intersectam a superfície somente em .
– Eixo
– Eixo
– Eixo
Logo, todos os três eixos intersectam a superfície somente em
Passo 3
(b) Simetrias:
– A equação envolve e
, logo é invariante se
e se
.
– Não há simetria em (pois
aparece linear).
Conclusão: simétrica em relação aos planos e
, mas não em
.
– A equação envolve
– Não há simetria em
Conclusão: simétrica em relação aos planos
Passo 4
(c) Seções meridionais (planos perpendiculares aos eixos):
– Plano :
– Plano
uma parábola (abertura em sentido decrescente de
).
– Plano :
– Plano
um ramo dupla de hipérbole no plano
(para todo
, há duas componentes).
– Plano :
– Plano
uma parábola (abertura em sentido crescente de
).
Passo 5
(d) Traços nos planos coordenados (
,
,
):
– Em (plano
):
– Em
uma parábola de equação
.
– Em (plano
):
– Em
duas retas passando pela origem.
– Em (plano
):
– Em
uma parábola de concavidade para baixo.
Passo 6
(e) Identificação da quádrica:
Como há um termo positivo em , um termo negativo em
e
linear, trata-se de um hiperbolóide paraboloide (mais conhecido como sela ou “saddle”).
Como há um termo positivo em
Passo 7
(f) Esboço do gráfico:
– Na seção temos
(parábola voltada para cima).
– Na seção temos
(parábola voltada para baixo).
– Para constante, os contornos são hipérboles no plano
.
Resultado: uma superfície tipo sela, simétrica em e
, abrindo em direções opostas ao longo de
.
– Na seção
– Na seção
– Para
Resultado: uma superfície tipo sela, simétrica em
Resposta
(a) Interseções com os eixos em
somente.
(b) Simétrica em relação aos planos e
; não é simétrica em
.
(c) Seções em :
(parábola); em
:
(hipérbole); em
:
(parábola).
(d) Traços: em ,
; em
,
; em
,
.
(e) É um hiperbolóide parabolóide (sela).
(f) Gráfico: superfície em forma de sela, com parábolas em e
, e hipérboles em cada nível de
.
(b) Simétrica em relação aos planos
(c) Seções em
(d) Traços: em
(e) É um hiperbolóide parabolóide (sela).
(f) Gráfico: superfície em forma de sela, com parábolas em