(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
23 3 x{2}=y+z{2}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a superfície dada por
3x^2 = y + z^2
O que faremos:
– (a) achar as interseções com os eixos coordenados,
– (b) discutir simetrias,
– (c) encontrar as seções meridionais por planos perpendiculares aos eixos x, y, z,
– (d) achar os traços naqueles planos coordenados,
– (e) reconhecer que tipo de superfície quádrica é,
– (f) esboçar o gráfico (forma de sela).

Passo 2

(a) Interseções com os eixos:
– Eixo x: y=0,;z=0 Rightarrow 3x^2=0 Rightarrow x=0.
– Eixo y: x=0,;z=0 Rightarrow y=0.
– Eixo z: x=0,;y=0 Rightarrow z=0.
Logo, todos os três eixos intersectam a superfície somente em (0,0,0).

Passo 3

(b) Simetrias:
– A equação envolve x^2 e z^2, logo é invariante se xmapsto -x e se zmapsto -z.
– Não há simetria em y (pois y aparece linear).
Conclusão: simétrica em relação aos planos x=0 e z=0, mas não em y.

Passo 4

(c) Seções meridionais (planos perpendiculares aos eixos):
– Plano x=k:
3k^2 = y + z^2 Longrightarrow y = 3k^2 - z^2,
uma parábola (abertura em sentido decrescente de y).
– Plano y=k:
3x^2 = k + z^2 Longrightarrow z^2 = 3x^2 - k,
um ramo dupla de hipérbole no plano xz (para todo k, há duas componentes).
– Plano z=k:
3x^2 = y + k^2 Longrightarrow y = 3x^2 - k^2,
uma parábola (abertura em sentido crescente de y).

Passo 5

(d) Traços nos planos coordenados ( z=0, y=0, x=0):
– Em z=0 (plano xy):
3x^2 = y,
uma parábola de equação y=3x^2.
– Em y=0 (plano xz):
3x^2 = z^2 Longrightarrow z = pm raiz3,x,
duas retas passando pela origem.
– Em x=0 (plano yz):
0 = y + z^2 Longrightarrow y = -,z^2,
uma parábola de concavidade para baixo.

Passo 6

(e) Identificação da quádrica:
Como há um termo positivo em x^2, um termo negativo em -z^2 e y linear, trata-se de um hiperbolóide paraboloide (mais conhecido como sela ou “saddle”).

Passo 7

(f) Esboço do gráfico:
– Na seção z=0 temos y=3x^2 (parábola voltada para cima).
– Na seção x=0 temos y=-z^2 (parábola voltada para baixo).
– Para y= constante, os contornos são hipérboles no plano xz.
Resultado: uma superfície tipo sela, simétrica em x e z, abrindo em direções opostas ao longo de y.

Resposta

(a) Interseções com os eixos em (0,0,0) somente.
(b) Simétrica em relação aos planos x=0 e z=0; não é simétrica em y.
(c) Seções em x=k: y=3k^2-z^2 (parábola); em y=k: z^2=3x^2-k (hipérbole); em z=k: y=3x^2-k^2 (parábola).
(d) Traços: em z=0, y=3x^2; em y=0, z=pmraiz3,x; em x=0, y=-z^2.
(e) É um hiperbolóide parabolóide (sela).
(f) Gráfico: superfície em forma de sela, com parábolas em z=0 e x=0, e hipérboles em cada nível de y.

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