(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
16 x{2}+y{2}+z^{2}-2 y+2 z=0
16 x{2}+y{2}+z^{2}-2 y+2 z=0
Passo 1
O enunciado apresenta a superfície quádric-a dada por
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria da superfície;
(c) seções meridionais (planos ,
,
);
(d) traços (interseções com os planos ,
,
);
(e) identificação do tipo de superfície quádric-a;
(f) esboço do gráfico.
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria da superfície;
(c) seções meridionais (planos
(d) traços (interseções com os planos
(e) identificação do tipo de superfície quádric-a;
(f) esboço do gráfico.
Passo 2
Vamos completar o quadrado em
e em
. Temos
Substituindo na equação original:
que simplifica para
Passo 3
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma padrão de um elipsoide:
Dessa forma vemos que o centro é
e os semi-eixos são
na direção
e
nas direções
e
.
Passo 4
Interseções com os eixos coordenados (duas variáveis nulas):
– Eixo :
,
dá
, ponto
.
– Eixo :
,
dá
ou
, pontos
e
.
– Eixo :
,
dá
ou
, pontos
e
.
– Eixo
– Eixo
– Eixo
Passo 5
Simetria da superfície: por não haver termos mistos e só quadrados em
e quadrados completos em
,
, a superfície é simétrica em relação aos planos que passam pelo centro
, ou seja, aos planos
Passo 6
Seções meridionais (planos paralelos aos planos coordenados, fixando
):
Plano :
Plano
elipse se
.
Plano :
Plano
elipse se
.
Plano :
Plano
elipse se
.
Passo 7
Traços com os planos coordenados:
Plano :
Plano
(círculo de raio
centrado em
).
Plano :
Plano
(elipse centrada em
, semi-eixos
e
).
Plano :
Plano
(elipse centrada em
, semi-eixos
e
).
Passo 8
Classificação e esboço:
A superfície é um elipsoide de centro , semi-eixos
em
,
em
e
em
.
Para desenhar, marque o centro, depois construa o comprimento dos semi-eixos ao longo das direções coordenadas e desenhe a forma oval.
A superfície é um elipsoide de centro
Para desenhar, marque o centro, depois construa o comprimento dos semi-eixos ao longo das direções coordenadas e desenhe a forma oval.
Resposta
(a)
,
,
(b) simétrica em relação aos planos ,
e
(c) para :
;; para
:
;; para
:
(d) traços: em :
; em
:
; em
:
(e) elipsoide de centro e semi-eixos
,
,
(f) esboço: elipsoide centrado em , com eixos alinhados aos eixos coordenados e comprimentos dos semi-eixos conforme item (e).
(b) simétrica em relação aos planos
(c) para
(d) traços: em
(e) elipsoide de centro
(f) esboço: elipsoide centrado em