(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
16 x{2}+y{2}+z^{2}-2 y+2 z=0

Passo 1

O enunciado apresenta a superfície quádric-a dada por
16x^2+y^2+z^2-2y+2z=0
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria da superfície;
(c) seções meridionais (planos x=k, y=k, z=k);
(d) traços (interseções com os planos x=0, y=0, z=0);
(e) identificação do tipo de superfície quádric-a;
(f) esboço do gráfico.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em y e em z. Temos
y^2-2y = (y-1)^2-1, z^2+2z = (z+1)^2-1
Substituindo na equação original:
16x^2 + l((y-1)^2-1r) + l((z+1)^2-1r) = 0
que simplifica para
16x^2 + (y-1)^2 + (z+1)^2 = 2

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 2 obtemos a forma padrão de um elipsoide:
x^2tfrac18 ;+;(y-1)^22;+;(z+1)^22 ;=;1
Dessa forma vemos que o centro é l(0,,1,,-1r) e os semi-eixos são
raiztfrac18=tfrac12raiz2 na direção x e raiz2 nas direções y e z.

Passo 4

Interseções com os eixos coordenados (duas variáveis nulas):
– Eixo x: y=0, z=0 16x^2=0Rightarrow x=0, ponto (0,0,0).
– Eixo y: x=0, z=0 y^2-2y=0Rightarrow y=0 ou y=2, pontos (0,0,0) e (0,2,0).
– Eixo z: x=0, y=0 z^2+2z=0Rightarrow z=0 ou z=-2, pontos (0,0,0) e (0,0,-2).

Passo 5

Simetria da superfície: por não haver termos mistos e só quadrados em x e quadrados completos em (y-1), (z+1), a superfície é simétrica em relação aos planos que passam pelo centro (0,1,-1), ou seja, aos planos
x=0, y=1, z=-1

Passo 6

Seções meridionais (planos paralelos aos planos coordenados, fixando k):
Plano x=k:
(y-1)^2 + (z+1)^2 = 2 - 16k^2,
elipse se lvert krvert <= tfracraiz24.
Plano y=k:
16x^2 + (z+1)^2 = 2 - (k-1)^2,
elipse se lvert k-1rvert <= raiz2.
Plano z=k:
16x^2 + (y-1)^2 = 2 - (k+1)^2,
elipse se lvert k+1rvert <= raiz2.

Passo 7

Traços com os planos coordenados:
Plano x=0:
(y-1)^2 + (z+1)^2 = 2
(círculo de raio raiz2 centrado em (y,z)=(1,-1)).
Plano y=0:
16x^2 + (z+1)^2 = 1
(elipse centrada em (x,z)=(0,-1), semi-eixos tfrac14raiz2 e 1).
Plano z=0:
16x^2 + (y-1)^2 = 1
(elipse centrada em (x,y)=(0,1), semi-eixos tfrac14raiz2 e 1).

Passo 8

Classificação e esboço:
A superfície é um elipsoide de centro l(0,1,-1r), semi-eixos
tfrac12raiz2 em x, raiz2 em y e raiz2 em z.
Para desenhar, marque o centro, depois construa o comprimento dos semi-eixos ao longo das direções coordenadas e desenhe a forma oval.

Resposta

(a) (0,0,0), (0,2,0), (0,0,-2)
(b) simétrica em relação aos planos x=0, y=1 e z=-1
(c) para x=k: (y-1)^2+(z+1)^2=2-16k^2;; para y=k: 16x^2+(z+1)^2=2-(k-1)^2;; para z=k: 16x^2+(y-1)^2=2-(k+1)^2
(d) traços: em x=0: (y-1)^2+(z+1)^2=2; em y=0: 16x^2+(z+1)^2=1; em z=0: 16x^2+(y-1)^2=1
(e) elipsoide de centro (0,1,-1) e semi-eixos tfrac12raiz2, raiz2, raiz2
(f) esboço: elipsoide centrado em (0,1,-1), com eixos alinhados aos eixos coordenados e comprimentos dos semi-eixos conforme item (e).

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