(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
19 3 z=x{2}+y{2}
19 3 z=x{2}+y{2}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a superfície dada por
e, em particular:
(a) encontrar as interseções com os eixos coordenados;
(b) discutir simetria;
(c) achar as seções planas (meridionais) por planos perpendiculares aos eixos ,
e
;
(d) achar os traços nas três faces coordenadas;
(e) identificar a superfície quádrupla;
(f) esboçar seu gráfico.
O conteúdo aqui é estudo de superfícies quádricas e suas interseções com planos coordenados.
(a) encontrar as interseções com os eixos coordenados;
(b) discutir simetria;
(c) achar as seções planas (meridionais) por planos perpendiculares aos eixos
(d) achar os traços nas três faces coordenadas;
(e) identificar a superfície quádrupla;
(f) esboçar seu gráfico.
O conteúdo aqui é estudo de superfícies quádricas e suas interseções com planos coordenados.
Passo 2
(a) Para as interseções com os eixos, impomos duas coordenadas iguais a zero e vemos a terceira:
– Eixo :
e
em
dá
.
– Eixo :
e
dá
.
– Eixo :
e
dá
.
Logo, a superfície só cruza todos os eixos no ponto .
– Eixo
– Eixo
– Eixo
Logo, a superfície só cruza todos os eixos no ponto
Passo 3
(b) Simetria: a equação
permanece inalterada se trocarmos
por
ou
por
. Portanto é simétrica em relação aos planos
e
. Além disso, como depende apenas de
, há simetria rotacional em torno do eixo
.
Passo 4
(c) Seções planas por planos perpendiculares aos eixos:
– Plano :
– Plano
que, no plano
, é uma parábola de vértice em
.
– Plano :
– Plano
que, no plano
, é uma parábola com vértice em
.
– Plano :
– Plano
que, no plano
, é uma circunferência de raio
(para
).
Passo 5
(d) Traços nas faces coordenadas:
– Plano (
):
– Plano
só dá o ponto
.
– Plano (
):
– Plano
uma parábola no plano
.
– Plano (
):
– Plano
uma parábola no plano
.
Passo 6
(e) Identificação da superfície: é um paraboloide elíptico (ou simplesmente eliptic paraboloid) aberto para valores positivos de
.
Passo 7
(f) Esboço do gráfico: imagine um “bowl” simétrico em torno do eixo
, abrindo para cima, com cortes horizontais circulares e cortes verticais parabólicos.
Resposta
(a) A única interseção com cada eixo é o ponto
.
(b) Simetria em ,
e rotação em torno do eixo
.
(c) Para :
(parábola em
); para
:
(parábola em
); para
:
(circunferência em
).
(d) Traço em :
; em
:
; em
:
.
(e) Paraboloide elíptico.
(f) Gráfico em forma de “bowl” simétrico, abertura para cima, com cortes verticais parabólicos e horizontais circulares.
(b) Simetria em
(c) Para
(d) Traço em
(e) Paraboloide elíptico.
(f) Gráfico em forma de “bowl” simétrico, abertura para cima, com cortes verticais parabólicos e horizontais circulares.