(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
19 3 z=x{2}+y{2}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a superfície dada por
z = x^2 + y^2
e, em particular:
(a) encontrar as interseções com os eixos coordenados;
(b) discutir simetria;
(c) achar as seções planas (meridionais) por planos perpendiculares aos eixos x, y e z;
(d) achar os traços nas três faces coordenadas;
(e) identificar a superfície quádrupla;
(f) esboçar seu gráfico.
O conteúdo aqui é estudo de superfícies quádricas e suas interseções com planos coordenados.

Passo 2

(a) Para as interseções com os eixos, impomos duas coordenadas iguais a zero e vemos a terceira:
– Eixo x: y=0 e z=0 em z=x^2+y^2 0=x^2implies x=0.
– Eixo y: x=0 e z=0 0=y^2implies y=0.
– Eixo z: x=0 e y=0 z=0.
Logo, a superfície só cruza todos os eixos no ponto (0,0,0).

Passo 3

(b) Simetria: a equação z=x^2+y^2 permanece inalterada se trocarmos x por -x ou y por -y. Portanto é simétrica em relação aos planos x=0 e y=0. Além disso, como depende apenas de x^2+y^2, há simetria rotacional em torno do eixo z.

Passo 4

(c) Seções planas por planos perpendiculares aos eixos:
– Plano x=k:
z = k^2 + y^2,
que, no plano yz, é uma parábola de vértice em l(y=0,;z=k^2r).
– Plano y=k:
z = x^2 + k^2,
que, no plano xz, é uma parábola com vértice em l(x=0,;z=k^2r).
– Plano z=c:
x^2 + y^2 = c,
que, no plano xy, é uma circunferência de raio raizc (para c>=0).

Passo 5

(d) Traços nas faces coordenadas:
– Plano xy ( z=0):
x^2 + y^2 = 0
só dá o ponto (0,0,0).
– Plano xz ( y=0):
z = x^2,
uma parábola no plano xz.
– Plano yz ( x=0):
z = y^2,
uma parábola no plano yz.

Passo 6

(e) Identificação da superfície: é um paraboloide elíptico (ou simplesmente eliptic paraboloid) aberto para valores positivos de z.

Passo 7

(f) Esboço do gráfico: imagine um “bowl” simétrico em torno do eixo z, abrindo para cima, com cortes horizontais circulares e cortes verticais parabólicos.

Resposta

(a) A única interseção com cada eixo é o ponto (0,0,0).
(b) Simetria em xmapsto -x, ymapsto -y e rotação em torno do eixo z.
(c) Para x=k: z=k^2+y^2 (parábola em yz); para y=k: z=x^2+k^2 (parábola em xz); para z=c: x^2+y^2=c (circunferência em xy).
(d) Traço em xy: (0,0,0); em xz: z=x^2; em yz: z=y^2.
(e) Paraboloide elíptico.
(f) Gráfico em forma de “bowl” simétrico, abertura para cima, com cortes verticais parabólicos e horizontais circulares.

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