Calcule o limite, se existir.
lim (x, y) (0,0) 6 x yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0):
lim(x,y)to(0,0) 6xyx^2+y^2
Isso é um problema de limite em várias variáveis. Para decidir se o limite existe, vamos usar coordenadas polares (ou caminho em linha reta) para ver se o valor depende da direção de aproximação.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Substituindo na função:
6xyx^2+y^2 = 6,(rcostheta),(rsintheta)r^2 = 6,r^2costhetasinthetar^2 = 6costhetasintheta
Como 6costhetasintheta = 3sin(2theta), o valor da expressão é
3sin(2theta),
que depende de theta, não de r.

Passo 3

Visto que o resultado 3sin(2theta) varia com theta, o valor do quociente muda conforme a direção de chegada em (0,0). Por exemplo, ao aproximar-se pela reta y=x ( theta=pi/4) obtemos 3sin(pi/2)=3, e pela reta y=-x ( theta=-pi/4) obtemos 3sin(-pi/2)=-3. Logo não há um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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