calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência
de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para
-ésima soma parcial
em função de
, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma
.
Passo 1
O enunciado pede para a série
- calcular os primeiros cinco termos
; - calcular as cinco primeiras somas parciais
; - encontrar uma fórmula fechada para
; - verificar convergência ou divergência;
- se convergir, achar
.
Passo 2
Calculamos
para
:
Passo 3
Agora as somas parciais
para
:
Passo 4
Para achar
em função de
, fazemos frações parciais:
Tomando
e
. Logo
Passo 5
A soma telescopa:
Observe que na soma cancelam quase todos os termos, sobrando
Simplificando,
Passo 6
Para
, temos
e
.
Portanto
Portanto
A série converge (por telescópica) e sua soma é
.
Resposta
Primeiros cinco termos:
Primeiras cinco somas parciais:
Fórmula fechada:
A série converge e