calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência sn de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para n-ésima soma parcial sn em função de n, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma S=lim n +infty sn.
sumk=1^infty 1k^2+2 k

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^infty1k^2+2k
  1. calcular os primeiros cinco termos ak=1k^2+2k;
  2. calcular as cinco primeiras somas parciais sn=sumk=1^nak;
  3. encontrar uma fórmula fechada para sn;
  4. verificar convergência ou divergência;
  5. se convergir, achar S=limntoinftysn.

Passo 2

Calculamos ak=1k^2+2k=1k(k+2) para k=1,2,3,4,5:
a1=11cdot3=13, a2=12cdot4=18, a3=13cdot5=115,
a4=14cdot6=124, a5=15cdot7=135

Passo 3

Agora as somas parciais sn=sumk=1^nak para n=1,2,3,4,5:
s1=13,
s2=13+18=1124,
s3=1124+115=2140,
s4=2140+124=1730,
s5=1730+135=2542

Passo 4

Para achar sn em função de n, fazemos frações parciais:
1k(k+2)=Ak+Bk+2 Longrightarrow 1 = A(k+2)+Bk
Tomando k=0Rightarrow A=tfrac12 e k=-2Rightarrow B=-tfrac12. Logo
1k(k+2) =12l(1k-1k+2r)

Passo 5

A soma telescopa:
sn =sumk=1^n1k(k+2) =12sumk=1^nl(1k-1k+2r)
Observe que na soma cancelam quase todos os termos, sobrando
sn =12l(11+12-1n+1-1n+2r) =12l(32-1n+1-1n+2r)
Simplificando,
boxedsn =34-12l(1n+1+1n+2r)

Passo 6

Para ntoinfty, temos tfrac1n+1to0 e tfrac1n+2to0.
Portanto
S=limntoinftysn =34
A série converge (por telescópica) e sua soma é S=tfrac34.

Resposta

Primeiros cinco termos:
13,;18,;115,;124,;135
Primeiras cinco somas parciais:
s1=13, s2=1124, s3=2140, s4=1730, s5=2542
Fórmula fechada:
sn =34-12l(1n+1+1n+2r)
A série converge e
S=limntoinftysn=34

Exercícios de Livros Relacionados