Considere dois circuitos de corrente interagentes, caracterizados pelas indutâncias L_{1}=\beta I_{1}^{\delta}, M_{12}=M_{21}=\beta I_{1}^{S / 2} I_{1}^{S / 2} e L_{2}=\beta I_{2}^{S}, onde \beta e s sāo constantes. Trata-se de um sistema magnético reversível porém não linear. Calcule a energia magnética do sistema em termos das correntes finais I_{1} e I_{2}. Faça isto de duas maneiras: primeiro, trazendo as correntes a seus valores finais, em concordância; segundo, mantendo I_{2}^{\prime}=0 enquanto I_{1}^{\prime} é levado a seu valor final, variando então, I_{2}^{\prime}.

Passo 1

Resumindo: temos dois enrolamentos acoplados, não lineares mas reversíveis, com indutâncias
L_{1}=\beta\,I_{1}^{\delta}, \quad M_{12}=M_{21}=\beta\,I_{1}^{\tfrac{S}{2}}\,I_{2}^{\tfrac{S}{2}}, \quad L_{2}=\beta\,I_{2}^{S},
e queremos a energia magnética W_{m} em função de I_{1} e I_{2}. Vamos usar a definição
W_{m}=\int_{\mathcal{P}} \bigl(\psi_{1}\,dI_{1}+\psi_{2}\,dI_{2}\bigr),
onde \psi_{1}=L_{1}I_{1}+M_{12}I_{2} e \psi_{2}=M_{21}I_{1}+L_{2}I_{2}, calculando em dois caminhos distintos.

Passo 2

Caminho 1 (variação simultânea): definimos uma parábola de carregamento I_{1}'=k\,I_{1},\,I_{2}'=k\,I_{2} com k de 0 a 1. Então
dI_{1}'=I_{1}\,dk,\quad dI_{2}'=I_{2}\,dk.
Em cada k,
\psi_{1}=\beta\,{I_{1}'}^{\delta+1}+\beta\,{I_{1}'}^{\tfrac{S}{2}}{I_{2}'}^{\tfrac{S}{2}+1}, \quad \psi_{2}=\beta\,{I_{1}'}^{\tfrac{S}{2}+1}{I_{2}'}^{\tfrac{S}{2}}+\beta\,{I_{2}'}^{S+1}.
Substituindo I_{1}'=kI_{1},\,I_{2}'=kI_{2} e somando \psi_{1}I_{1}+\psi_{2}I_{2}, obtemos
\psi_{1}I_{1}+\psi_{2}I_{2} =\beta\,k^{\delta+1}I_{1}^{\delta+2} +2\beta\,k^{S+1}I_{1}^{\tfrac{S}{2}+1}I_{2}^{\tfrac{S}{2}+1} +\beta\,k^{S+1}I_{2}^{S+2}.
Logo
W_{m} =\int_{0}^{1}\bigl(\psi_{1}I_{1}+\psi_{2}I_{2}\bigr)\,dk =\beta\frac{I_{1}^{\delta+2}}{\delta+2} +2\beta\frac{I_{1}^{\tfrac{S}{2}+1}I_{2}^{\tfrac{S}{2}+1}}{S+2} +\beta\frac{I_{2}^{S+2}}{S+2}.

Passo 3

Caminho 2 (carrego I_{1} primeiro, depois I_{2}):
  1. De I_{1}'\!:0\to I_{1} com I_{2}'=0:
\psi_{1}=\beta\,{I_{1}'}^{\delta+1}, \quad W_{1}=\int_{0}^{I_{1}}\psi_{1}\,dI_{1}' =\beta\frac{I_{1}^{\delta+2}}{\delta+2}.
  1. De I_{2}'\!:0\to I_{2} com I_{1}'=I_{1} fixo:
\psi_{2} =\beta\,I_{1}^{\tfrac{S}{2}+1}\,{I_{2}'}^{\tfrac{S}{2}} +\beta\,{I_{2}'}^{S+1},
W_{2} =\int_{0}^{I_{2}}\psi_{2}\,dI_{2}' =\beta\,I_{1}^{\tfrac{S}{2}+1}\frac{I_{2}^{\tfrac{S}{2}+1}}{\tfrac{S}{2}+1} +\beta\frac{I_{2}^{S+2}}{S+2}.
Somando W_{1}+W_{2}
W_{m} =\beta\frac{I_{1}^{\delta+2}}{\delta+2} +\beta\frac{I_{1}^{\tfrac{S}{2}+1}I_{2}^{\tfrac{S}{2}+1}}{\tfrac{S}{2}+1} +\beta\frac{I_{2}^{S+2}}{S+2}.

Passo 4

Observando que
\frac{2}{S+2}=\frac{1}{\tfrac{S}{2}+1},
vemos que as duas expressões coincidem, confirmando a reversibilidade.

Resposta

W_{m} =\beta\,\frac{I_{1}^{\delta+2}}{\delta+2} +2\,\beta\,\frac{I_{1}^{\tfrac{S}{2}+1}I_{2}^{\tfrac{S}{2}+1}}{S+2} +\beta\,\frac{I_{2}^{S+2}}{S+2}.

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