Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
raizn+1raiz3 n+1

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência an definida por
an = raizn+1raiz3n+1
O conteúdo é limite de sequência e vamos usar propriedades de radicais e operações com limites para descobrir se an converge e, em caso afirmativo, calcular limntoinftyan.

Passo 2

Primeiro, note que podemos juntar as raízes em uma só:
an = raizn+13n+1

Passo 3

Para tratar o comportamento quando ntoinfty, dividimos o numerador e o denominador dentro da raiz por n:
an = raiz nl(1+1nr) nl(3+1nr) = raiz1+1n3+1n
Como 1nto0 quando ntoinfty, o quociente dentro da raiz tende a tfrac13.

Passo 4

Aplicando o limite, temos
limntoinftyan = limntoinftyraiz1+1n3+1n = raiz1+03+0 = raiz13 = 1raiz3
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyraizn+1raiz3n+1 = 1raiz3

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