Determine qual(is) das matrizes a seguir são (i) simétrica, (ii) singular, (iii) estritamente diagonal dominante, (iv) definida positiva.
\left[ \begin{array}{rrr}4 & 2 & 6 \\ 3 & 0 & 7 \\ -2 & -1 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 6\\\\ 3 & 0 & 7\\\\ -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}
e pede para verificar as propriedades:
(i) simétrica,
(ii) singular,
(iii) estritamente diagonal dominante,
(iv) definida positiva.
Vamos revisar cada conceito e aplicar à matriz A.

Passo 2

Para ser simétrica precisamos ter A = A^T, ou seja, a_{ij} = a_{ji} para todo i,j.
Aqui, por exemplo, a_{12} = 2 e a_{21} = 3.
Como 2 \neq 3, conclui-se que
A \neq A^T,
logo A não é simétrica.

Passo 3

Uma matriz é singular se e somente se o seu determinante é zero. Vamos calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =4\det\begin{pmatrix}0 & 7\\\ -1 & -3\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}3 & 7\\\ -2 & -3\end{pmatrix} +6\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ -2 & -1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 7\\\ -1 & -3\end{pmatrix} =0\cdot(-3)-7\cdot(-1)=7,
\det\begin{pmatrix}3 & 7\\\ -2 & -3\end{pmatrix} =3\cdot(-3)-7\cdot(-2)=-9+14=5,
\det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ -2 & -1\end{pmatrix} =3\cdot(-1)-0\cdot(-2)=-3.
Substituindo,
\det(A)=4\cdot7 - 2\cdot5 +6\cdot(-3)=28 -10 -18 = 0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular.

Passo 4

Para ser estritamente diagonal dominante em cada linha i deve valer
|a_{ii}| > \sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Verificando linha a linha:
Linha 1: |a_{11}|=|4| e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|2|+|6|=8. Como 4\not>8, falha.
Não é preciso checar as outras linhas, já basta uma contra-exemplo. Logo, A não é estritamente diagonal dominante.

Passo 5

Para ser definida positiva, uma matriz real deve ser simétrica e ter todos os menores principais estritamente positivos. Como A não é simétrica, ela não pode ser definida positiva.

Resposta

(i) simétrica: não
(ii) singular: sim
(iii) estritamente diagonal dominante: não
(iv) definida positiva: não

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