determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar. [Sugestão: Primeiro considere .]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, usando o teste de Leibniz sempre que possível. Trata-se de uma série alternada de termos
com sinal (ou , trocando apenas o primeiro sinal). Vamos aplicar o teste de Leibniz, que exige:
para todo .
é monótona decrescente.
.
Passo 2
Mostramos primeiro que
e que
Logo, a segunda condição do teste de Leibniz (limite nulo) está satisfeita.
Passo 3
Para mostrar que é decrescente para , considere a função
Calculando a derivada:
Note que para (isto é, ) temos , logo . Verificando numericamente, também . Assim é decrescente a partir de .
Passo 4
Como , decrescente e , o teste de Leibniz garante que
converge. Trocar por só muda o sinal de cada termo, não afetando a convergência.
Passo 5
Além disso, a série absoluta
comporta-se como sum1/k^3/2, que é uma p-série com p=3/2>1, logo converge. Assim a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.
Cálculo Numérico - Análise numérica - burden - 10ª Edição - Capítulo 13.Conjunto de Problemas 5 - Ex. 5