determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty (-1)^k kraizk^5+7 [Sugestão: Primeiro considere sumk=1^infty (-1)^k+1 kraizk^5+7.]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^infty (-1)^kkraizk^5+7
converge ou diverge, usando o teste de Leibniz sempre que possível. Trata-se de uma série alternada de termos
ak=kraizk^5+7
com sinal (-1)^k (ou (-1)^k+1, trocando apenas o primeiro sinal). Vamos aplicar o teste de Leibniz, que exige:
  1. ak>0 para todo k.
  2. ak é monótona decrescente.
  3. limktoinftyak=0.

Passo 2

Mostramos primeiro que
ak=kraizk^5+7>0
e que
limktoinftyak =limktoinftykraizk^5+7 =limktoinfty1k^3/21raiz1+7/k^5 =0
Logo, a segunda condição do teste de Leibniz (limite nulo) está satisfeita.

Passo 3

Para mostrar que ak é decrescente para k>=1, considere a função
f(x)=xraizx^5+7, x>=1
Calculando a derivada:
f'(x) =(x^5+7)^1/2-xcdot5x^42(x^5+7)^-1/2x^5+7 =(x^5+7)^-3/2l(-tfrac32x^5+7r)
Note que para x^5>(14/3) (isto é, x>rsim1,35) temos -tfrac32x^5+7<0, logo f'(x)<0. Verificando numericamente, também a2<a1. Assim ak é decrescente a partir de k=1.

Passo 4

Como ak>0, ak decrescente e limktoinftyak=0, o teste de Leibniz garante que
sumk=1^infty(-1)^,k+1ak =sumk=1^infty(-1)^k+1kraizk^5+7
converge. Trocar (-1)^k+1 por (-1)^k só muda o sinal de cada termo, não afetando a convergência.

Passo 5

Além disso, a série absoluta
sumk=1^inftyl|akr| =sumk=1^inftykraizk^5+7
comporta-se como
sum1/k^3/2, que é uma p-série com p=3/2>1, logo converge. Assim a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

Exercícios de Livros Relacionados