determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty (-1)^k+1k^2-10 k+26 [Sugestão: Primeiro considere sumk=5^infty (-1)^k+1k^2-10 k+26.

Passo 1

Temos a série alternada
sumk=1^infty(-1)^k+1k^2-10k+26
e queremos decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, verificar a convergência absoluta por comparação com uma p-série.

Passo 2

Começamos olhando na cauda da série, isto é, para k>=5. Note que
k^2-10k+26=(k-5)^2+1>0
para todo k>=5. Definindo
ak=1k^2-10k+26, k>=5,
vemos que ak>0 e
ak+1=1(k+1)^2-10(k+1)+26 <1k^2-10k+26=ak,
ou seja, (ak) é decrescente para k>=5. Além disso,
limktoinftyak =limktoinfty1k^2-10k+26 =0

Passo 3

Pelas condições do teste de Leibniz (termos alternados, decrescentes em módulo e tendendo a zero), a série
sumk=5^infty(-1)^k+1k^2-10k+26
converge. Como os quatro primeiros termos sumk=1^4(-1)^k+1/(k^2-10k+26) formam uma soma finita, concluímos que a série completa sumk=1^infty(-1)^k+1/(k^2-10k+26) também converge.

Passo 4

Para ver se a convergência é absoluta, comparamos l|(-1)^k+1/(k^2-10k+26)r|=ak com uma p-série. Note que para k>=10
k^2-10k+26 ;=;k^2l(1-tfrac10k+tfrac26k^2r) ;>=;k^22,
pois 1-10/k+26/k^2>=1/2 sempre que k>=10. Logo, para k>=10,
ak=1k^2-10k+26<=2k^2
Como sum2/k^2 é convergente ( p=2>1), segue por comparação que sum ak converge. Os termos a1,dots,a9 formam um somatório finito, então
sumk=1^inftyak
converge, e a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (portanto converge).

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