determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar. [Sugestão: Primeiro considere .
Passo 1
Temos a série alternada
e queremos decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar o teste de Leibniz para séries alternadas e, em seguida, verificar a convergência absoluta por comparação com uma -série.
Passo 2
Começamos olhando na cauda da série, isto é, para . Note que
para todo . Definindo
vemos que e
ou seja, é decrescente para . Além disso,
Passo 3
Pelas condições do teste de Leibniz (termos alternados, decrescentes em módulo e tendendo a zero), a série
converge. Como os quatro primeiros termos formam uma soma finita, concluímos que a série completa também converge.
Passo 4
Para ver se a convergência é absoluta, comparamos com uma p-série. Note que para k>=10