determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
[Sugestão: Primeiro considere
.]
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e sugere começar estudando
.
O teste de Leibniz afirma que uma série alternada converge se as parcelas
forem positivas, monotonicamente decrescentes a partir de algum
e
.
e sugere começar estudando
O teste de Leibniz afirma que uma série alternada
Passo 2
Definimos
Para ver que
, note que
Passo 3
Para verificar que
é decrescente para
, considere a função contínua
Seu derivada é
que é negativa sempre que
. Logo,
decresce para
.
Passo 4
Como
,
para
e
, o teste de Leibniz garante que
converge. A adição dos dois primeiros termos (
) não afeta a convergência, de modo que a série original também converge. Note que, em valor absoluto,
dá divergência do tipo
-série com
, então a convergência é condicional.
Resposta
A série
converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.