determine se a série dada converge ou diverge. Use o teste de Leibniz para séries alternadas para estabelecer a convergência sempre que este se aplicar.
sumk=1^infty (-1)^k raizkk+3 [Sugestão: Primeiro considere sumk=3^infty (-1)^k raizkk+3.]

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=1^infty(-1)^kraizkk+3
e sugere começar estudando
sumk=3^infty(-1)^kraizkk+3.
O teste de Leibniz afirma que uma série alternada sum(-1)^kak converge se as parcelas ak forem positivas, monotonicamente decrescentes a partir de algum k e limktoinftyak=0.

Passo 2

Definimos
ak = raizkk+3
Para ver que akto0, note que
limktoinftyraizkk+3 =limktoinftyk^1/2k,(1+3/k) =limktoinfty1raizk,(1+3/k)=0

Passo 3

Para verificar que ak é decrescente para k>=4, considere a função contínua
f(x)=raizxx+3, x>3
Seu derivada é
f'(x) =(x+3),12raizx-raizxcdot1(x+3)^2 =3-x2raizx,(x+3)^2,
que é negativa sempre que x>3. Logo, ak=f(k) decresce para k>=4.

Passo 4

Como ak>0, aksearrow0 para k>=4 e limktoinftyak=0, o teste de Leibniz garante que
sumk=3^infty(-1)^kak converge. A adição dos dois primeiros termos ( k=1,2) não afeta a convergência, de modo que a série original também converge. Note que, em valor absoluto, aksim1/raizk dá divergência do tipo p-série com p=1/2, então a convergência é condicional.

Resposta

A série sumk=1^infty(-1)^kraizkk+3 converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

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