2-14 Duas placas condutoras paralelas, infinitas. estão separadas por uma distância d. Se as placas possuírem densidades uniformes de carga \sigma e -\sigma, respectivamente. em suas superfícies internas, obtenha uma expressão para o campo elétrico entre as placas. Demonstre que o campo elétrico nas regiões externas às placas é nulo. [Duas placas condutoras paralelas, carregadas. de área fīnita, produzem essencialmente o mesmo campo elétrico na região contida entre elas como foi determinado anteriormente, contanto que as dimensões das placas sejam grandes em comparação com a separação d; tal arranjo é denominado capacitor (veja o Capítulo 6).]

Passo 1

O enunciado descreve duas placas condutoras paralelas e infinitas, separadas por uma distância d, com densidades de carga uniformes +\sigma na face interna da placa esquerda e -\sigma na face interna da placa direita. O objetivo é achar o campo elétrico na região entre elas e mostrar que fora desse intervalo o campo resultante é zero. Vamos usar o resultado do campo de uma placa infinita carregada e o princípio da superposição.

Passo 2

Recordando que o campo de uma placa infinita com densidade de carga \sigma é uniforme e tem magnitude
\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
saindo da placa em ambos os lados se \sigma>0 (e apontando para a placa se \sigma<0).

Passo 3

Na região entre as placas (digamos 0<x<d), a placa carregada positivamente gera um campo de módulo \tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} apontando para a direita (afastando-se dela), e a placa carregada negativamente gera um campo de módulo \tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} também apontando para a direita (pois o campo de uma carga negativa aponta em direção à placa). Pela superposição,
E_{\text{entre}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} =\frac{\sigma}{\varepsilon_0},
direcionado da placa positiva para a negativa.

Passo 4

Em qualquer região externa (por exemplo x<0 ou x>d), cada placa individual gera um campo de módulo \tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}, mas orientações opostas. Assim, fora das placas:
E_{\text{externo}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} =0.

Resposta

O campo elétrico entre as placas é uniforme, de magnitude \displaystyle \frac{\sigma}{\varepsilon_0} e aponta da placa positiva para a placa negativa, enquanto fora das placas o campo resultante é nulo.

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